初三数学直角三角形性质、相关定理和推论.doc

第2次课：直角三角形性质、相关定理和推论
一、考点、热点回顾
1、基本知识点：
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
应用：由边的关系判定三角形是直角三角形

定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）
应用：判定直角三角形全等的方法

2、互逆定理
如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

全等三角形中相等的边所对的角相等。
全等三角形中相等的角所对的边相等。

逆命题：
互逆命题：
逆定理：
互逆定理：

三角形三边长与三角形形状之间的关系
设三角形的三边长分别为a、b、c，其中c为最大边的长
（1）若，则三角形为直角三角形；
（2）若，则三角形为钝角三角形；
（3）若，则三角形为锐角三角形；

二、典型例题
D
A
B
C
例如图，在△ABC中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD⊥AB于点D，求CD的长。

例如图,在△ABC中,D是BC上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.
A
B
C
D

例右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝30 °,
立柱BC、DE要多长？

例将下面的空补充完整。如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°.
求证：AB=4BD
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴ BC= AB
∠B=
又∵△BCD中,CD⊥AB
∴∠BCD=
∴BD= BC
∴BD= AB
即
例：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0

1.如图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.

A
B
C
D

2.如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在一坚直的墙上AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将向外移动多少米？
A
B
C

A1
B1

3.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交高AD于点F，且BF=AC，FD=CD。
A
B
C
D
E
F
求证：BE⊥AC

A
B
D
C
4.（宁夏中考）如图，在Rt△DBC中，∠C=900，∠A=300，BD是∠ABC的平分线，AD=20。求BC的长。

5.（衢州中考）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转到△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300。
（1）求点B与点A′的坐标；
x
y
A
B
O
A′
B′
（2）求经过点B与点B′的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A′是否在直线BB′上.

6.如图，在中，，等腰直角三角形的斜边在边上，则的长为 ．

7.如图，，且，则四边形ABCD的面积为 ．

8.如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．
求证：AC＝AB．

三、课后练习
1.满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.
A．三内角之比为1：2：3 B.三边之比为1::
C.三边长为41,40,9 D.三边长为,2,8
2.等边三角形的高为2,则它的面积是( ).
A.2 B.4 C. D.
3.下列命题的逆命题是真命题的是( ).
A.对顶角相等 B.若a=b,则a2=b2
C.在同一个三角形中,等边对等角 D.如果两个角都是直角,那么这两个角相等
4.如图1-1, Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,将此三角形折叠,使直角边AC落在斜边AB上,点C与点D重合,折痕为AE,则BE的长为( ).
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
5.已知直角三角形斜边长为2,周长为2+,则三角形的面积为__________.
6.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是_________________________________,这个逆命题是_________命题.
7.如图1-2,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。
8.有一圆柱形油罐，如图1-3，要从A点绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，梯子最短要求 m（已知油罐底面圆周长是12cm，高AB是5m）。
D
L
A
C
B
M
N
A
D
B
C
E
9.若直角三角形的三条边长分别是5，12，a，则a= 。

B
A

图1-1 图1-2 图1-3
A
B
C
D
C
O
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点。
求证： BO=CO

11．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
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