河南大附属中学2022年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知反比例函数y＝，则下列点中在这个反比例函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（2，2） D．（2，l）
2．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（　　）

A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米1534石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得254粒，其中夹有谷粒28粒，则这批谷米内夹有谷粒约是（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
4．下列式子中表示是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，△∽△，若，，，则的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．正五边形的每个外角度数为（ ）
A． B． C． D．
8．下列根式是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
9．已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是( )
A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2 C．–2<x1<3<x2 D．x1<–2<x2<3
10．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是_________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

12．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是_____．
13．圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．
14．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是_____；

15．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝_____．

16．点关于轴的对称点的坐标是__________．
17．在中，，为的中点，则的长为__________．
18．在中，，，，圆在内自由移动.若的半径为1，则圆心在内所能到达的区域的面积为______.

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．

(1)当时，上存在点，使与相似，求的长度．
(2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似?
20．（6分）在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.

21．（6分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．

22．（8分）采用东阳南枣通过古法熬制而成的蜜枣是我们东阳的土特产之一，已知蜜枣每袋成本10元.试销后发现每袋的销售价（元）与日销售量（袋）之间的关系如下表：
（元）
15
20
30
…
（袋）
25
20
10
…
若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式.
（2）要使这种蜜枣每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
23．（8分）在平面直角坐标系中，的顶点分别为、、.

（1）将绕点顺时针旋转得到，画图并写出点的坐标.
（2）作出关于中心对称图形.
24．（8分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”
大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)

25．（10分）一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。(请用列表或画树状图等方法)
26．（10分）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果，求tan∠DBC的值；
（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据y=得k=x2y=2，所以只要点的横坐标的平方与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．
【详解】解：A、12×2＝2，故在函数图象上；
B、12×（﹣2）＝﹣2≠2，故不在函数图象上；
C、22×2＝8≠2，故不在函数图象上；
D、22×1＝4≠2，故不在函数图象上．
故选A．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有反比例函数图象上的点的坐标适合解析式．
2、D
【分析】由折叠的性质可得AQ＝QD，AP＝PD，由勾股定理可求AQ的长，由锐角三角函数分别求出AP，HQ的长，即可求解．
【详解】解：过点D作DN⊥AC于N，

∵点D是BC中点，
∴BD＝3，
∵将△ABC折叠，
∴AQ＝QD，AP＝PD，
∵AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，
∴AC＝，
∵sin∠C＝＝，
∴DN＝，
∵cos∠C＝，
∴CN＝，
∴AN＝，
∵PD2＝PN2+DN2，
∴AP2＝（﹣AP）2+，
∴AP＝，
∵QD2＝DB2+QB2，
∴AQ2＝（9﹣AQ）2+9，
∴AQ＝5，
∵sin∠A＝＝，
∴HQ＝＝
∵∴△PQD的面积＝△APQ的面积＝××＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数，求出HQ的长是本题的关键．
3、B
【解析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，再乘以1534石，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： 1534×≈169（石），
答：这批谷米内夹有谷粒约169石；
故选B．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
4、C
【解析】根据反比例函数的定义进行判断．
【详解】解：A. 是正比例函数，此选项错误；
B. 是正比例函数，此选项错误；
C. 是反比例函数，此选项正确；
D. 是一次函数，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为（k≠0）的形式．
5、D
【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【详解】如图，过作于，则，

AC＝＝1．
．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
6、C
【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
【详解】解：∵△∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解.
7、B
【解析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】360°÷5＝72°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．
8、D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9、B
【解析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.
【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）
∵y=0时，x=-2或x=3，
∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），
∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，
∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，
∵-1<0，
∴两个抛物线的开口向下，
∴x1＜﹣2＜3＜x2，
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.
10、C
【解析】直接利用二次根式的定义即可得出答案．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x＞1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①②③
【分析】由图形先得到a，b，c和b2-4ac正负性，再来观察对称轴和x=-1时y的值，综合得出答案.
【详解】解：开口向上的，与轴的交点得出，，，，①对
，，，，②对
抛物线与轴有两个交点，，③对
从图可以看出当时，对应的值大于0，，④错
故答案：①②③
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其函数图象与关系.
12、
【解析】解：掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，
所以掷到上面为奇数的概率为：．
故答案为．
13、1
【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，解得．故答案为1．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14、
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H，

∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，AB＝ ＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
15、1．
【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝1x1﹣4x+4＝1（x﹣1）1+1，
∴点P的坐标为（1，1），
设点M的坐标为（a，1），则点N的坐标为（a，1a1﹣4a+4），
∴＝＝＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P左边，设出点M、点N的坐标，表达出．
16、
【分析】根据对称点的特征即可得出答案.
【详解】点关于轴的对称点的坐标是，故答案为.
【点睛】
本题考查的是点的对称，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识.
17、5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据斜中定理计算即可得出答案.
【详解】∵
∴
∴△ABC为直角三角形，AB为斜边
又为的中点
∴
故答案为5.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理以及直角三角形的斜中定理，解题关键是根据已知条件判断出三角形是直角三角形.
18、24
【分析】根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根据Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K点，利用△BEK∽△BHC，求出BK的长，即可求出EF的长，再根据△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面积.
【详解】如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接BE，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，EK⊥BC于K，作FJ⊥BC于J．
∵，，，
∴AB=
根据圆的性质可知BH平分∠ABC
∴故CH=HM,设CH=x=HM，则AH=12-x，BM=BC=9,
∴AM=15-9=6
在Rt△AMH中，AH2=HM2+AM2
即AH2=HM2+AM2
（12-x）2=x2+62
解得x=4.5
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BHC，
∴，即
∴BK=2，
∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，
∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
故,即
解得FG=8
∴圆心在内所能到达的区域的面积为FG×EF=×8×6=24,
故答案为24.

【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.

三、解答题(共66分)
19、 (1)或1；(2)当且时，有1个；当时，有2个；当时，有2个；当时，有1个．
【分析】（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题；
（2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题；
【详解】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需，即，
解得AF=1或1；
当∠AEF=∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需，即，
解得AF=1；
综上所述AF=1或1．
（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；
连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F1．

当m=4时，由已知条件可得DE=1，则CE=5，
即图中圆的直径为5，
可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F1重合，
即当m=4时，符合条件的F有2个，
当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F1不存在，即此时符合条件的F只有1个，
当1＜m＜4且m≠1时，由所作图形可知，符合条件的F有1个，
综上所述：
当1＜m＜4且m≠1时，有1个；  
当m=1时，有2个；
当m=4时，有2个； 
当m＞4时，有1个．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）（0,2）；（2）；（3）m=2或.
【分析】（1）是顶点式，可得到结论；
（2）把A点坐标代入得方程，于是得到结论；
（3）分两种情况：当抛物线开口向上或向下时，分别画出图形，找到临界位置关系，求出m的值，再进行分析变化趋势可得到结论．
【详解】（1）是顶点式，顶点坐标为；
（2）∵抛物线经过点，
∴m=9m +2，
解得： ，
∴
(3)如图1，当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段上时， ；
当m>2时，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段与抛物线一定有两个交点，不符合题意；
如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点时， ；
直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当时，9m+2<m，交点位于点A下方，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段与抛物线一定有且只有一个交点，符合题意；
综上所述，当或 时，抛物线与线段只有一个公共点.

【点睛】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考虑特殊情况是关键，考查了数形结合的数学思想．
21、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）欲证△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且就可以；
（2）A是的中点，的中点，则AC=AB=8，根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵，
∴∠DCA=∠BAE，
∴△ADC∽△EBA；
（2）解：∵A是的中点，
∴，
∴AB=AC=8，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC，，即，
∴AE=，
∴tan∠CAD=tan∠AEC===．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
22、 (1) ;(2) 要使这种蜜枣每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【详解】（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b得，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝−x＋40
（2）设利润为元，得

∵
∴当时，取得最大值，最大值为225
故要使这种蜜枣每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23、（1）图见解析；；（2）见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点B顺时针旋转90°的对应点A1、、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于点N对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图所示：即为所求，点；
（2）如图所示： 即为所求．

【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
24、由的高约为丈.
【分析】由题意得里，尺，尺，里，过点作于点，交于点，得 尺，里，里，根据相似三角形的性质即可求出.
【详解】解：由题意得里，尺，尺，里.
如图，过点作于点，交于点.

则尺，里，里，
，
∴ △ ECH∽ △ EAG，
，

丈，丈.
答：由的高约为丈.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键.
25、
【分析】画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【详解】解：画树状图如下：

∴摸得两次白球的概率=
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、（1）；（2）；（3）E（2，）
【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；
（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.
【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，

解得，
∴此抛物线的表达式是：．
（2）过点D作DH⊥BC于H，

在△ABC中，设AC边上的高为h，则，
又∵DH//y轴，
∴．
∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴．
∴．
∴tan∠DBC=.
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，

∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，
∵∠BAC=∠FAC，
∴∠OAB=∠OFA．
∴△OAB∽△OFA，
∴．
∴OF=9，即F（9，0）；
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
可得 ，解得，
∴直线AF的解析式为：，
将x=2代入直线AF的解析式得：，
∴E（2，）.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.