北京市海淀区2012-2013学年九年级数学第一学期期中试卷.doc

北京市海淀区2012-2013年九年级数学第一学期期中试卷
一、选择题
1. （2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【 】

A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定。190187。
【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：
A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。
由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误。故选B。　
2. （2012贵州贵阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】

A．3 B．2 C． D．1
【答案】B。
【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。
【分析】连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF。
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°。
∵DE=1，∴AE=2DE=2。
∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2。故选B。
3. （2012贵州安顺3分）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是【 】
　 A． 1.25m B． 10m C． 20m D． 8m
【答案】C。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】设该旗杆的高度为xm，
根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）。
∴该旗杆的高度是20m。故选C。
4. （2012贵州毕节3分）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是【 】

A.40° B.60° C.80° D.120°
【答案】A。
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质。
【分析】∵a∥b，∴∠ABC=∠2=80°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1=120°，∠3=∠1－∠ABC（三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和）。
∴∠3=120°－80°=40°（等量代换）。故选A。
5. （2012贵州毕节3分）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是【 】

A.2 B.2 C.4 D.4
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°－30°－90°=60°。
∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD。∴∠A=∠ACD=30°。∴∠DCB=60°－30°=30°。
∵BD=1，∴CD=2=AD。∴AB=1+2=3。
在△BCD中，由勾股定理得：CB= 。
在△ABC中，由勾股定理得： 。故选A。
6. （2012贵州黔南4分）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为【 】

A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
【答案】A。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则 ，即 ，解得，x=8。故选A。
7. （2012贵州黔西南4分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为【 】

（A） （B） （C） （D）
8. （2012贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】

　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9
【答案】D。
【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB。∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN。
∴BM=ME，EN=CN。∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN。
∵BM+CN=9∴MN=9。故选D。
9. （2012贵州遵义3分）如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=【 】

A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】A。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵ ，∴ 。
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。∴ 。∴9S△AEF=S△ABC。
又∵S四边形BCFE=8，∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=9。故选A。
二、填空题
1. （2012贵州安顺4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　 ▲ 　m．

【答案】200。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），三角形内角和定理，等腰三角形的判定。
【分析】由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°。
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°。
∴∠ACB=∠BAC。∴BC=AB=200（m）。
2. （2012贵州安顺4分）如图，∠1=∠2，添加一个条件　 ▲ 　使得△ADE∽△ACB．

【答案】∠D=∠C（答案不唯一）。
【考点】开放型，相似三角形的判定。
【分析】∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB。
∴当∠D=∠C或∠E=∠B或 时，△ADE∽△ACB（答案不唯一）。
3. （2012贵州黔东南4分）计算cos60°=　 ▲ 　．
【答案】 。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】直接根据记忆的内容得出结果：cos60°= 。
4. （2012贵州黔东南4分）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成　 ▲ 　个正三角形．
【答案】4。
【考点】等边三角形的性质。
【分析】用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形。故答案为4。
5. （2012贵州黔南5分）都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于　 ▲ 　。

【答案】 。
【考点】完全平方式。解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值：
如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；
根据勾股定理，得：AB= （米）
∴tanθ= 。
6. （2012贵州黔西南3分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为 ▲ 。

【答案】27。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】先判定出△AOD∽△BOC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解：
∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC。∴ 。
∵AD=1，BC=3， ，∴ 。
∴ 。
三、解答题
1. （2012贵州贵阳10分）小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差．如图，他利用测角仪站在C处测得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到达D处，测得∠ADC=34°，求落差AB．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）

【答案】解：∵ACB=68°，∠D=34°，∠ACB是△ACD的外角，
∴∠CAD=∠ACB﹣∠D=68°﹣34°=34°。∴∠CAD=∠D。∴AC=CD=80。
在Rt△ABC中，AB=AC×sin68°≈80×0.927≈74（m）。
答：落差AB为74m。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰三角形的判定，锐角三角函数定义。
【分析】根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，故可得出∠CAD=∠D，所以AC=CD=80，在Rt△ABC中，由AB=AC×sin68°即可得出结论。　
2. （2012贵州安顺10分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（精确到个位， ≈1.7）．

【答案】解：由∠ABC=120°可得∠EBC=60°，
在Rt△BCE中，CE=51，∠EBC=60°，∴tan60°= 。
∴ （cm）。
在矩形AECF中，由∠BAD=45°，得∠ADF=∠DAF=45°，∴DF=AF=51。
∴FC=AE≈34+29=63，∴CD=FC﹣FD≈63﹣51=12（cm）。
∴BE的长度均为29cm，CD的长度均为12cm。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，矩形的性质。
【分析】在Rt△BCE中，CE=51，∠EBC=60°，求得BE，在Rt△ADF中，由∠FAD=45°，从而求得DF=AF=51，从而求得BE，CD的长度。
3. （2012六盘水12）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．

【答案】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，
由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=∠CAB=30°。∴AB=BC=30m。
设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE= x，
又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，
解得：x=15。∴CE=15 m。
答：小丽自家门前的小河的宽度为15 m。
【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度。
4. （2012贵州黔东南12分）如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．
（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．
（2）若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）

【答案】解：（1）作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD。
在Rt△CDB中，∵∠CBD=30°，∴ =tan30°
∴BD= CD。
∵AD+BD=CD+ CD=200，∴CD=100（ ﹣1）。
（2）∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，
∴海盗到达D处用的时间为100（ ﹣1）÷50=2（ ﹣1）。
∴警舰的速度应为[200﹣100（ ﹣1）]÷2（ ﹣1）=50 （千米/时）。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AC上的高，转化为两个直角三角形求解。
（2）求得海盗船到达D处的时间，用BD的长度除以求得的时间即可得到结论。
5. （2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．

6. （2012贵州遵义8分）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， ≈1.73，精确到个位）

【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵BC=200m，∠CBA=30°，
∴在Rt△BCD中，CD= BC=100m，
BD=BC•cos30°=200× =100 ≈173.0（m）。
∵∠CAB=54°，
∴在Rt△ACD中， （m）。
∴AB=AD+BD≈173.0+73.5=246.5≈247（m）。
答：隧道AB的长为247m。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，近似值。
【分析】构造直角三角形：过点C作CD⊥AB于D。在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，从而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，由AB=AD+BD求得答案。

6