河北省石家庄市第一中学2011届高三数学补充试题-理-新人教A版.doc

石家庄市第一中学2011届高三数学（理）补充试题

1.已知集合 P = {x∈N | 1≤x≤10}，集合Q = {x∈R | x2+x－6=0}，则P∩Q等于( A )
A． {2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2. (1－i)2·i=( D ）
A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2
3.不等式组的解集为 （ C ）
A． B． C． D．
4. 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ A ）
A． B. C. D.
5.若，则( C )
A． B . C . D.
6.若函数f (x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A )
A.单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ C ）
（A）7 （B） （C）21 （D）
8.设，函数，则使的的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
9.设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）
A. B . C . D .
10.函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）
A. B. C. D.
11.若动点在曲线上变化，则的最大值为（ A ）
A．B． C． D．
12. 设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题：
13.已知，，则 －2 .
14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 x2+y2=4 .
15． 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 1
16.已知在中，，是上的点，则点到的距离乘积的最大值是 3 .
三、解答题：
17.如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）
所以 ,即 =,因为所以.
(Ⅱ）由函数及其图象，得
所以 从而
,故.
18．某运动员射击一次所得环数的分布如下：

7
8
9
10

0

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率;
(II)求的分布列;
(III) 求的数学期望.
解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；
(Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10.
;;
;
.
分布列为

7
8
9
10
P
0.04
0.21
0.39
0.36
(Ⅲ) 的数学希望为.
19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.
解法一：
平面，
又，
由平面几何知识得：.
（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，
四边形是等腰梯形，

又
四边形是平行四边形。

是的中点，且
又，
为直角三角形，

在中，由余弦定理得

故异面直线PD与所成的角的余弦值为
（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角
，,二面角的大小为
（Ⅲ）连结，
平面平面，,又在中，
，，
故时，平面.
解法二：
平面, ,又，，
由平面几何知识得：
.
以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，
（Ⅰ），
，.
.
故直线与所成的角的余弦值为.
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
由于，，
由 得
取，又已知平面ABCD的一个法向量，

又二面角为锐角，
所求二面角的大小为
（Ⅲ）设，由于三点共线，，
平面，,

由（1）（2）知：
，,,
故时，平面.
20.在等差数列中，，前项和满足条件
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和。
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以.
（Ⅱ）由，得。所以，
当时，；
当时，
，
，
即.
21.设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

双曲线的离心率

（II）设

由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

22.已知函数，
(Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
解：对函数求导，得

令解得 或
当变化时，、的变化情况如下表：
x
0

0

所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 当时，的值域为.
（Ⅱ）对函数求导，得

因此，当时，
因此当时，为减函数，从而当时有

又，，即当时有

任给，，存在使得，则

即
解式得 或
解式得
又，
故：的取值范围为

8