院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究_许宁.pdf

常熟理工学院学报（自然科学）Journal of Changshu Institute of Technology（Natural Sciences）第 37 卷第 2 期2023 年 3 月Vol.37 No.2Mar.,2023院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究 许 宁（国防大学 政治学院，上海 201602）摘要：通过分析毕业学员质量及发展状况构成特点，建立了某学院学员质量指标体系，基于AHP-模糊综合评价法构建了学员质量评估模型，结合用人单位实际，实现了对某类毕业学员的质量评估 并在构建毕业学员质量指标和发展状况指标基础上，运用机器学习、马尔可夫随机场和 Ising模型，建立两类指标相关联的数学模型 其解给出了两类指标的相关关系，解决了评估过程中部分信息不完全、模糊不确定、质量指标与发展状况关联度不易提取等技术困难 关键词：指标体系；层次分析法；模糊综合分析法；机器学习；Ising 模型；马尔可夫随机场中图分类号：C934；O223 文献标志码：A 文章编号：1008-2794（2023）02-0086-10收稿日期：2022-10-20基金项目：国防大学资助项目“政治学院毕业学员质量跟踪评估研究”（20GDJ30438C）通信作者：许宁，教授，博士，研究方向：偏微分方程、军事运筹学，E-mail：0 引言毕业学员是院校生产的产品，其质量的高低是衡量院校教育教学质量的关键标准新一轮教学评价方案把毕业学员质量反馈作为衡量院校教学质量效果必选的建设点纳入评价体系，因而重视毕业学员质量评价是衡量院校教学质量的核心要素和关键环节那么，学员培训质量如何评价？学员毕业后发展状况与培训质量的关系如何刻画？用何种方法把学员自身评价与用人单位评价结合起来？如何体现毕业学员质量评价的有效性与精准性？研究这些问题对解决毕业学员质量评估具有理论和现实意义近年来，毕业学员质量评估问题引起了许多学者的关注 1-4 从总体上看，这些成果大多停留在宏观思辨和理论推演层面 管理学认为，质量是一组固有特性满足要求的程度 因而，院校的培训质量要结合各院校的人才培养方案和人才的培养层级来设计质量标准 为此，应用系统论及数学模型的思想，对毕业学员质量跟踪评估进行系统分析和研究，构建毕业学员质量指标评价体系，给出易于操作的测量方法众所周知，评估与对象属性、指标范围、技术方法、评估人的素质有关，这导致单一的评估方法会产生较大的误差，因而单一评估方法有许多不足 5 一个自然的想法是对两类评估方法做综合，实现二者的优势互补 这里，采用层次分析法（AHP）6 与模糊综合评判法 7 的集成方式进行评估 该方法表现为采用层次结构构建指标体系，运用判断矩阵的最大特征值的特征向量确定指标的权重，然后结合指标权重进行多级模糊评判，最后把评估对象的等级进行合理赋值，结合权值进行加权平均，最后得出评估结论 DOI:10.16101/32-1749/z.2023.02.018第 2 期871 构建毕业学员质量指标体系影响院校学员培养质量的因素有很多，其中没有合适的培训质量评估体系是重要因素之一事实上，由于学员类别众多，专业种类复杂，决定了培训质量比日常训练等有形标准更难确定能力、素质是表征毕业学员质量的两大指标 8 以政治学院学员为例，学员不仅要具备一般军事人才的基本素质，还必须具备政治军官的特殊要求，这种特殊要求由其特殊的能力和素质结构所决定因而培训质量标准要突出学习理论知识、注重培养岗位能力、着力塑造综合素质建立评价指标体系时，要做到如下几个方面：一是指标体系应能有效反映各类院校人才培养目标、人才培养方案和课程标准、教学大纲所构建能力、素质的质量标准；二是层次结构的指标体系，要能全面反映毕业学员质量的主要情况；三是指标要具备易于采集及量化的特性，且测量和统计容易实施政治学院毕业学员质量标准，以横向为能力、素质的质量结构，纵向为听党指挥、能打胜仗、作风优良和有灵魂、有本事、有血性、有品德的培养目标构造标准框架 根据建立的指标体系框架，按照理论推导、形成框架，指标细化、初拟方案，运用德尔菲法 9 在毕业学员和用人单位领导中做调查，对能力、素质的具体标准指标分别进行梳理和归类，突出培养重点、凝练规范表述，建立了毕业学员质量评估指标体系，其层次结构如图 1（按有关规定，用字母代替具体指标）所示学员发展状况以能力素质的增量、培养目标的实现程度 图 1 毕业学员质量指标体系层次结构及发展潜力作为核心指标依据客观、易操作的原则，以及各单位年度考核实际，并结合德尔菲法进行指标论证，最终把学员发展状况指标设为 5 个客观指标（用字母 F1、F2、F3、F4、F5表示）2 计算评价指标权重的数学原理及其近似计算为了充分反映毕业学员的质量，指标权重的赋值尤为重要通过对指标两两比较，运用层次分析法确定的权重，能充分体现毕业学员的学习和工作实践感悟，从而更精准地评估毕业学员的质量事实上，设在同一层有 n 个因素 B1、B2、Bn，把这些元素关于上一层次中某一准则（Bi,i=1,n 等元素受该准则的制约）的重要性进行两两比较，运用萨特 19 标度法 10，得正互反判断矩阵这里 bii=1,i=1,n;bij0,bij=1/bji,i,j=1,n.显然，这是一个正矩阵，对于正矩阵，有如下引理：引理 1 11 设矩阵 B0,(B)为 B 的谱半径，则（1）(B)为 B 的特征值，其对应的一个特征向量为正向量；（2）对于 B 的任意其他特征值，都有|(B)；（3）(B)是 B 的单特征根；（4）存在从属于(B)的特征向量 W=(wi)Rn，其中，wi 0，wi=1引理 1 表明，Bnn最大特征值 max存在且是单根，其特征向量为正的且除常数因子外是唯一的特征向量归一化后，即是概率分布列，因而可用 Bnn的最大特征值的特征向量（进行归一化）作为各元素的权重如何计算判断矩阵的最大特征值的特征向量，目前有 20 多种计算方法 12，我们希望找到一种简单易求的近似计算方法事实上，当判断矩阵 B=(bij)nn满足 bij=bikbkj(i,j,k=1,2,n)时，则称正互反矩阵 B 为一致=niiww11,0许宁：院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究常熟理工学院学报（自然科学）2023 年88的，有如下结论：引理 2 13 n 阶正互反矩阵 B=(bij)nn是一致的，当且仅当 max=n.若 B 的属于 max的特征向量为 W=(w1,w2,wn)T，则有引理 2 表明，当 B 是一致的正互反矩阵时，其最大特征值的特征向量 W=(w1,w2,wn)T应满足 wi=wjbij,i,j=1,2,n （1）若令 ，则有 （2）于是 （3）由（3）式得故把矩阵 B 的每一列归一化，则可得最大特征值的特征向量又由式（1）（2）得 （4）因而，从属于一致正互反矩阵B的最大特征值的特征向量计算方法是：首先按矩阵B的列归一化后得到矩阵 B，然后把矩阵 B 按行相加，则得 n 维向量，最后进行归一化处理得到最大特征值的特征向量这样的计算方法称为和法一般地，通过两两比较得到的正互反判断矩阵通常不具备一致性事实上，设正互反的判断矩阵 B=(bij)nn最大特征值为 max(0)，其对应的特征向量 W=(w1,w2,wn)T(wi0,i=1,2,n)于是可令由 BW=maxW 有 （5）对（5）式关于 i 求和得 （6）化简（6）有 （7）.,2,1,njiwwbjii j=.,2,1,njiwwbjii j=niiw11=niiw11第 2 期89故 maxn 即一般地，通过两两比较获得的判断矩阵，不具备一致性 那么，用和法来计算一般正互反矩阵的最大特征值的特征向量能否得到很好的近似呢？这里借助于文献 14 的思想进行考察为此令考察判断矩阵列归一化后进行相加的数值与权重差，希望在 W 中能找到误差最小的权重向量 w(wW)的表达式 这可通过非线性最小二乘问题来观察 事实上，令 （8）对（8）式求关于，wi(i=1,2,n)偏导数并令其等于 0 有 （9）由（9）得 （10）对（10）两边关于 i 求和并结合 有 （11）又代入（11）得=0结合（10）得最优解 于是用和法求判断矩阵最大特征值的特征向量是一个比较好的近似求法 即将判断矩阵的元素按列归一化得矩阵 B=(bij)nn，其中 将矩阵 B 按行相加，即 得向量 W=(w1,w2,wn)，然后把向量 W 正规化，即 得最大特征值的特征向量 W=(w1,w2,wn)T由 BW=maxW 有=niiw11许宁：院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究常熟理工学院学报（自然科学）2023 年90综合上述分析，若令 ，则可说明判断矩阵的一致性程度，但 CI 与矩阵阶数n 有关 为了得到统一的指标，萨特引进了CR=CI/RI 这一指标，称为一致性比率，其中 RI为随机一致性指标，与矩阵的阶数有关，萨特给出的 RI 如表 1 所示若 CR 0.1，则判断矩阵具有可接受的一致性，表明进行判断的标准比较一致3 学员质量评估模型的建立依据毕业学员质量指标体系的层次结构建立三层的质量评估框架，即第一层为目标层 A，第二层为一级指标层 B，第三层为二级指标层 C 第二层中的因素为 Bi(i=1，2,6)，（12）对式（12）关于 i 求 n 项和，则得这给出了求最大特征值的近似求法表 1 各阶矩阵的随机一致性指标矩阵阶数RI30.5840.9051.1261.2471.3281.4191.45第三层中的因素为 Cij，i=1,2 或 1,2,3这些因素具有模糊性，由模糊数学理论 15 可构建一个二级模糊综合评估模型模型结构如下：1.评估因素集：毕业学员质量指标体系的层次结构中，第二层评估因素集 A=B1,B2,B3,B4,B5,B6，第三层是把第二层的因素集按其属性细分成 6 个子评估因素集 Bi=Ci1,Ci2,Cij,i=1，2,6；j=1，2,t2.建立各指标的评价等级，按照毕业学员质量属性，把评价集合 V 定义为 V=v1,v2,v3,v4=优秀，良好，合格，不合格 3.第一级评估：对每一个评估子因素集 Bi分别进行模糊综合评判（1）确定 Bi=Ci1,Ci2,Cim 集合中各因素 Cij的权重：在 Bi的视角下，对因素集 Ci1,Ci2,Cim 进行两两比较，得判断矩阵；把该矩阵的最大特征值的特征向量作为 Cij的权重，用 Wi=wi1,wi2,wim 表示（2）建立单因素评判矩阵：单独从一个因子 Cij出发进行评价，确定 Cij对评价集合 V 的隶属程度 设毕业学员质量按因素集 Bi=Ci1,Ci2,Cim 中第 j 个因素 Cij进行评价，得评价集 V 中第 k 个元素的隶属度为 rijkCij的评价结果表示为 Cij=(rij1,rij2,rij3,rij4)对 Bi中所有因素分别进行评价后，可得矩阵 RBi=(rijk)，其中 rijk的数值用民意测验法确定，即 rijk=dijk，dijk为在考察因子 Cij时，有 dijk个人选择评价集 V 中第 k 个元素 Vk，d 为所有参加考察因子 Cij的总人数（3）综合评价：将评价矩阵 RBi=(rijk)与权重集 Wi=wi1,wi2,wim 进行模糊运算，得评价模型这里“。”表示模糊运算由于毕业学员的质量指标没有占绝对优势的情形，故针对毕业学员质量的综合评估，其模糊运算是正常的矩阵运算，即按加权平均进行计算，其结果做归一化处理仍记作(bi1,bi4)，得 Bi表示评价集 V 这一论域上的模糊子集，即 ，d第 2 期914.第二级评估：把每个子因素集 Bi视为一个单独元素，用 Bi=(bi1,bi2,bi3,bi4)作为它的单指标评价向量，则可构成集合 A 到 V 的模糊评价矩阵 R在 A的视角下，对集合 A=B1,B2,B3,B4,B5,B6 中的元素两两比较得判断矩阵，判断矩阵的最大特征值的特征向量即为 Bi(i=1,6)的权重，记作(w1,w2,w3,w4,w5,w6).得 A 的最终评价向量计算结果做归一化处理仍记作 A=(a1,a2,a3,a4)，其 A 的含义是 按最大隶属原则得 ，其含义是 A 的评价等级为 vk.若把评价等级赋值为（优，良，合格，不合格）=（100，80，60，40）.按照向量内积进行计算，则得百分制的评估值，即P（A）=(a1,a2,a3,a4)(100，80，60，40)=100a1+80a2+60a3+40a4.4 构建毕业学员质量与发展状况指标之间的关联模型为了建立毕业学员质量指标与其发展状况的客观指标的联系，可运用机器学习对样本数据进行分析，寻找两类指标之间的关联事实上，两类指标的联系本质上是根据一些已观察的证据（即数据）来对感兴趣的未知变量进行估计和推测这里把关心的毕业学员质量指标体系记作集合 A，学员发展状况的指标体系记为集合 F，隐含的变量集合记为 Y，若把 A,Y,F 看作随机变量，则可在联合分布 P（A,Y,F）条件下进行考察，因而样本信息可表示为条件分布 P（A,Y|F）给定一组观测变量值，推断就是由 P（A,Y|F）得到条件概率分布P(A|F)，其条件概率分布表达了发展状况与毕业质量之间的相关关系因而，毕业学员质量与发展状况可用概率图模型框架进行描述概率图模型 16 是一类用图表达变量之间相关关系的模型图中节点表示随机变量 这里把毕业学员质量指标和发展状况指标看作结点，连接结点的线（称为边）表示两变量之间的概率相关关系，从而形成所需的图模型由于我们不考虑学员是何种状态进入学院来学习的，只考虑学员在学院学习后所形成的能力素质（即学员质量）对今后发展的影响，因而可用马尔可夫随机场 17 来描述 在概率图模型中用无向图表示变量间的相关关系，图中每个结点表示一个变量，结点之间的边表示两个变量之间的依赖关系因此，可用结合了统计理论和机器学习模型马尔可夫网络来处理毕业学员质量和发展状况的有关数据以政治学院毕业学员质量指标体系和学员发展状况指标体系为例，质量指标体系共有 15 个，即C11,C12,C13,C21,C22,C31,C32,C33,C41,C42,C51,C52,C61,C62,C63学员发展状况共 5 个，即 F1,F2,F3,F4,F5这些指标皆用 0 和 1 赋值依据回收的样本，对数据真实性进行评估，可把质量指标的赋值定义为其他质量指标值的赋值类似对发展状况指标，0,1 赋值的含义是许宁：院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究RA，常熟理工学院学报（自然科学）2023 年92这些指标构成了无向图 G=（V,E），其中 V=1,2,p（这里 p=20）为节点集，E 为边集我们的目标是从 n个独立同分布的样本空间x(1),x(2),x(n)，利用马尔可夫随机场，估计无向图的结构事实上，设 X=X1,X2,Xp（这里 p=20），对每个节点 Xs(V)其值只取 0,1依据 Ising 模型 18，X 的分布具有如下形式：（13）其中 Z(*)是正规化常数目前，在计算机可视化和社会网络分析中常用它来建立统计模型 19-20 矩阵中元素表示了 Xs，Xt的条件部分相关性，因而描述了 X 的条件依赖性设样本集为马尔可夫随机场是利用公式（13）描述的分布，其中*是参数矩阵，目标是由样本来推断边集 E为计算需要，引入符号边设节点 rV，其邻域和符号邻域分别为 显然，符号邻域可由 p-1 维参数向量 来描述，因而寻找图的格式的问题等价于寻找节点邻域的问题，于是需估计向量 r 为此，要考察在给定变量 Xr(Xr=Xt|tV r)下的 Xr的条件分布 结合公式（13），经计算条件分布具有如下形式：表明变量 Xr具有 logistic 回归的特征，其中 Xr充当了协变量的角色 需估计的符号稀疏回归模式可归结为正则回归问题 （14）其中 n0 是正规化参数 经计算上述目标函数可化为 （15）其中经验证目标函数（15）是凸的但不可微，运用拉格朗日对偶法，问题（15）可转化为限制在 上进行考察 因而（15）的最小值总是可以达到的为了寻找（15）的求解方法，考察任意节点 rV 的 Hessian 矩阵（p-1 阶）其中是方差函数该矩阵称为 Fisher 信息矩阵，它是多维参数的信息量期望值的一种度量为简便 S:=(r，t)|tN(r),SC是 S 补集，用 Qss表示指标属于 S,Qr的 d 阶子矩阵经综合分析，毕业学员质量的各项指标与发展状况指标间的关联性不会出现过度依赖性，同时，从直觉)(1nrC，X他signsignsign，第 2 期93文献 21 指出，在上述假设下，公式（15）有唯一解，对每一个节点rV，符号邻域 的估计真正排除了不在真实邻域中的边，且该方法可以选取真正的符号邻域模型（15）具有minf(x)=l(x)+r(x)的形式，其中l(x)是样本的负的对数概率，r(x)是正规化项 文献22给出了处理这类模型数据的机器学习算上看，大多数不相关的变量不会对相关变量的子集产生过度影响于是我们给出关于依赖条件及不相干条件的假设：假设 1 依赖条件：假设相互关联的变量表示的 Fisher 信息矩阵的特征值有界，即存在常数 Cmin，Cmax0，Dmax使得 min(Qss)Cmin，max(Qss)Cmax，max(E*Xr X Tr)Dmax假设 2 不相干条件：存在 （0，1 使得)(rN许宁：院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究图 2 毕业学员第一类指标得分平均值图 3 计算指标关联的程序框图表 2 基于样本的两类指标条件依赖数值C11C12C13C21C22C31C32C33C41C42C51C52C61C62C63F1002-101-120-22-1001F21000-100200001-22F3-10-1211-1-20-111020F40-2-1-1-10020-21-1-110F5-101-2102000-10200输入样本的数据，计算结果见表 2，其中数值的绝对值越大，表示关联度越高由表 2 可知发展状况的各项指标关联的主要因 素（数 值 为 2），见 表 3因 为 B1=C11,C12,C13,B2=C21,C22,B3=C31,C32,C33,B4=C41,C42,B5=C51,C52,B6=C61,C62,C63，毕 业 学 员 发 展 状况=F1,F2,F3,F4,F5，结 合 表 3，得 F1,F2,F3,F4,F5与B1,B2,B3,B4,B5,B6关联的密度，如图 4 所示 依据图论知识，结合图 4，各顶点 Bi(i=1,6)度数 d(Bi)为 d(B1)=2，d(B2)=2，d(B3)=5，d(B4)=2，d(B5)=1，d(B6)=3 （16）法，它是基于多元函数局部极小化的正交有限记忆拟牛顿算法（称为 OWL-QN L-BFGS-B）结合样本数据，运用OWL-QN L-BFGS-B算法来求解公式（15），可得毕业学员发展状况指标与毕业学员质量指标之间的关联矩阵，矩阵中数值绝对值越大，表示两指标相关性越大5 毕业学员质量评估结果分析依据指标体系层次结构模型及权重计算的要求，设计了毕业学员质量指标重要性程度调查表，进一步根据模糊综合评估数据采集的要求，细化了各二级指标的关注点并给出评价等级的评价标准，经由德尔菲法验证后，设计了毕业学员质量指标等级评价调查表针对某类毕业学员，发放了 96 份调查问卷，有效回收 83 份利用评估模型计算统计得到第一类指标平均得分，如图 2 所示上述评估得分是学员自身学习实践感悟与部队评价相结合的得分，皆为主观评价，而学员的发展状况是客观评价教学单位更关心的是客观评价与主观评价是如何关联的，为此，利用质量指标与发展状况指标关联模型（15），运用 R 语言的集成开发环境Rstudio，借助 OWL-QN L-BFGS-B 算法来设计计算程序，其计算框图见图 3PPPP常熟理工学院学报（自然科学）2023 年94依 据（16）可 知，第 一 类 6 个 指 标 中，与 学 员 发 展 状 况 关 联 度 最 大 的 是B3(d(B3)=5)，因而在学员的发展状况中起到极其重要的作用 又依据图 2 知 B3得分最低，故对育人单位来说，学校关于培养 B3能力的课程需要进行优化设计 因而，评估模型为院校教学改革寻找重点突破口提供了数量支撑，也为教改决策起到了辅助作用6 结论从评估毕业学员质量的难点看，一是要有一个好的综合评价方法，既要考察学员自身的学习与实践感悟，又要考察用人单位对毕业学员的评价 二是如何科学地进行测量，这需要构建合理的质量指标结合对现行的 5 种综合评价方法的梳理与优缺点比较，遵照评价简洁、高效、易操作的特征，采取层次分析法与模糊综合评判法的集成方式进行综合评价 通过层次分析与模糊综合方法的有机结合，缩小主观认识和客观实际的差距，把学员自评与用人单位评价统一起来优点是综合评价的权重来自学员自身学习与实践的感悟，评价结果通过模糊综合过程把部队评价与毕表3 指标间关联的主要因素图 4 发展状况与第一类指标关联图 发展状况 关联的二级指标F1C13，C33，C42，C51F2C33，C62，C63F3C21，C33，C62F4C12，C33，C42F5C21，C32，C61业学员所给的动态权重结合起来，从而把学员本人与用人单位评价有机结合起来；给出了针对不同职业进行精准评价的路径，结果更加可靠、可信、有效 同时，合理的指标体系需要运用德尔菲法进行验证从提取主观指标与客观指标关联性的难点看，这是在毕业学员质量指标体系（主观评价）和学员发展状况指标体系（客观评价）已建好的情况下，如何构建两类指标关联的数学模型 大多数关联的统计模型是通过计算相关系数，并把相关系数直观地用散点图表示 若要发现关联的规律，对样本量需求很大，准确性差 结合项目实际，运用统计推测和机器学习来建立模型，找到了毕业学员质量与发展状况关联的描述方式，即把关心的毕业学员质量指标体系记作集合A，学员发展状况的指标体系记为可观测变量集合F，依据给定样本观测值，推断出条件概率分布 P(A|F),其条件概率分布表明发展状况与毕业质量之间的相关关系 因而，毕业学员质量与毕业学员发展状况可用概率图模型框架进行描述为实现这一思想，运用结合了统计理论和机器学习模型马尔可夫网络，并借助Ising模型来处理毕业学员质量和发展状况的有关数据 同时运用条件分布理念，把统计融入机器学习中，给两类指标间的关联获取方式提供了新的视角，且样本量不受限制本评估模型与关联模型具有广泛的应用性，只要提供针对不同对象的主观和客观评价的指标体系，运用该模型即可生成所需的数理支撑的关联数据，为决策提供辅助支持参考文献 1 冯锐，兰运奎，张敏构建军队院校毕业学员质量跟踪机制的研究 J 北华航天工业学院学报，2015，25（6）：57-59 2 黄友谊，洪庆根建立用人单位对军队院校毕业学员质量评估指标体系的研究 J 高等教育研究学报，2002，25（4）：37-39 3 裴文政军队院校毕业学员跟踪反馈机制的构建与运行 J 军事经济学院学报，2016，23（5）：75-77 4 吴亚荣军队院校毕业学员信息反馈机制探索 J 空军军事学术，2016，62（1）：62-65 5 杜栋，庞庆华，吴炎现代综合评价方法与案例精选 M 北京：清华大学出版社，2008：138-206，84-87 6 谭跃进定量分析方法 M 北京：中国人民大学出版社，2012：137-147 7 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of the graduation quality of a certain category of students is realized.On the basis of the construction of the quality index and development status index of the graduates,machine learning is applied,Markov random field and Ising model are used to establish the mathematical model of the correlation of two kinds of indexes,and their solutions give the correlation of the two kinds of indexes.It solves some technical difficulties such as incomplete information,fuzzy uncertainty,the correlation between quality index and development status,etc.Key words:index system;analytical hierarchy process;fuzzy synthetic evaluation;machine learning;Ising model;Markov random field许宁：院校毕业学员发展状况与培训质量评估的数学建模研究