《第三章-空间向量》导学案.doc

《第三章 空间向量(复习)》导学案
学习目标
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.
学习重难点
重点：掌握空间向量的运算及其坐标运算；
难点：立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P115－116，找出惑之处)
复习1：如图，空间四边形中，.点M在OA上，且OM=2MA，
N为BC中点，则______________.

复习2：平行六面体中，，点P，M，N分别是的中点，点Q在上，且，用基底表示下列向量：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ .

※主要知识点：
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广， 有关运算方法几乎一样，只是“二维的”变成 “三维的”了.

2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具
①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算

※ 典型例题
例1 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？

小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.

例2 如图，在直三棱柱中，，点M是的中点，求证：.

变式：正三棱柱的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线上求一点N，使

例3 如图，长方体中，点E，F分别在上，且，.
⑴ 求证：平面；
⑵ 当时，求平面与平面所成的角的余弦值.

三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；
2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.

※ 知识拓展
若二面角两个面的法向量分别是，二面角为
则，而

学习评价
※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：
1.已知，且，则k＝_____________；

2. 已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.

3.空间两个单位向量与的夹角都等于，则______________.

4.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为______________.

5. 正方体的棱长为，，N是的中点，则＝
( )
A. B. C. D.