2014届湖南省澧县一中高三上学期三校联考理科数学试题及答案.doc

湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中2014届高三上学期
三校联考理数试题
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
(3题图)
2．“” 是“为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．阅读右边的程序框图，则输出的（ ）
A． B．　 C． D．
4.已知变量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）
A．　　　　　　　 B． C．　　　　　　　　 　D．
6．在等比数列中，，则能使不等式成
立的最大正整数是( )

O
1
-1
-2
2

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
1
2
-1
-2
x
y
O
1
-1

7. 如图，偶函数的图象形如
字母M，奇函数的图象形如
字母N，若方程：

的实数根的个数分别为a、b、c、d，则=（ ） A．27 B．30 C．33 D．36
8．若（其中为整数），则称为离实数最近的整数，记作，即.设集合，，若集合的子集恰有两个，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
(11题图）
9．已知，则= .
10．设，则二项式展开后的常数项是 .
11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，
则= .
12. 在中，，且，点满足＝ .
13．已知，则的最小值为 .
14. 已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .
15. 定义在R上的函数满足，，，且当，时，.
（1） ；（2） .

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知函数，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为，且过点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

17.（本小题满分12分）
湖南省在学业水平考查中设计了物理学科的实验考查方案：考生从道备选试验考查题中一次随机抽取题，并按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中题便通过考查．已知道备选题中文科考生甲有题能正确完成，题不能完成；文科考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别写出文科考生甲正确完成题数和文科考生乙正确完成题数的概率分布列，并计算各自的数学期望；
（Ⅱ）试从两位文科考生正确完成题数的数学期望及通过考查的概率分析比较这两位考生的实验操作能力．

18.（本小题满分12分）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
如图，四棱柱的底面是平行四边形，且底面， ，，°，点为中点，点为中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设二面角的大小为，直线与平面
所成的角为，求的值.

19．（本小题满分13分）
在一条笔直的工艺流水线上有个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，，，，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若，工作台从左到右的人数依次为，，，，，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

图8

20．（本小题满分13分）
已知函数，点、在函数的图象上，
点在函数的图象上，设．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为；
（3）已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．

21．(本小题满分13分)
已知函数的图象在上连续，定义：，.其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.
（Ⅰ）若，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”.如果是，
求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中2014届高三上学期
三校联考理数试题答案
一． 选择题
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C
二．填空题
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.（1） （2）
三、解答题
16．【解】（Ⅰ）
……3分
由题有：，则，……4分
代入点有，则，又，则……6分
（Ⅱ）由题有： ……7分
， ………9分
则函数的值域为. ……12分
17.【解】（1）由题意可知：则取值分别为1，2，3； ………………１分
，，．
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

1
2
3

． …………………４分
亦由题意可知：取值分别为0，1，2，3． ………………５分
且，同理：，，．
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：

0
1
2
3

．（或） …………………8分
（2）∵，，

∴． ………………10分

从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强． …………………12分
18．【解】（1），，
又，，则，即
.又底面，，
而则平面，又平面，
平面平面. ………5分
（2）为二面角的平面角，则， .…………7分
过作的垂线，垂足为，连结，又平面，，则平面，为直线与平面所成的角， …………9分
易得，， …………11分
则，即. …………12分
19. 【解】设供应站坐标为，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为．
（Ⅰ） ……2分
当时，在区间上是减函数；
当时，在区间上是增函数．
则当时，式取最小值，即供应站的位置为内的任意一点． ……分

（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
．……7分
类似于（Ⅰ）的讨论知，，且有
……分
所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，在区间上是常数．故供应站位置位于区间上任意一点时，均能使函数取得最小值，且最小值为． ……………13分
20．【解】（1）由题有：
……3分
（2）， …………8分
（3），，
由知
， 而，所以可得．
于是
．
当时 ；
当时，
当时，
下面证明：当时，
证法一：（利用组合恒等式放缩）
当时， ∴当时， ……………13分
证法二：（数学归纳法）证明略
证法三：（函数法）∵时，
构造函数，
∴当时，
∴在区间是减函数，
∴当时，
∴在区间是减函数，
∴当时，
从而时，，即∴当时，

21.【解】（Ⅰ）由题意可得：，……2分
（Ⅱ），
……4分
当时，，∴，即；
当时，，∴，即；
当时，，∴，即．
综上所述，∴
即存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4阶收缩函数． ………7分
（Ⅲ）令得或．函数f（x）的变化情况如下：

令f（x）=0，解得x=0或3．
（ⅰ）b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，因此，．
因为是[0，b]上的2阶收缩函数，所以，①对x∈[0，b]恒成立；②存在x∈[0，b]，使得成立．
①即：对x∈[0，b]恒成立，由，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得成立．由得：x＜0或，所以．
综合①②可得：． ………10分
（ⅱ）当b＞2时，显然有，由于f（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：，，可得，
此时，不成立． ……12分
综合ⅰ）ⅱ）可得：的取值范围为． ………13分
（注：在（ⅱ）中只要取区间内的一个数来构造反例即可，这里用只是因为简单而已）

·10·