一类Riccati微分方程的解法_章慧芬.pdf

一类 微分方程的解法章慧芬（揭阳职业技术学院师范教育系，广东 揭阳 ）摘要：一般形式的 微分方程，虽然形式简单，但却不存在初等解法 又因其应用广泛，因此对该方程的具体求解仍具有研究意义 根据方程系数函数的特点，由把方程转化为变量分离方程这一思想，确定了方程中系数函数间的关系，研究其解的存在唯一性，并对给定的特殊形式的系数函数的 微分方程进行了求解，给出了通解表达式关键词：微分方程；微分方程的解法；精确解中图分类号：文献标识码：文章编号：（）形如：（）（）（）（）的微分方程称为 微分方程，其中（）、（）、（）为自变量的连续函数，且（）（）（若（），方程（）为可解的一阶线性微分方程；若（），方程（）为可解的 微分方程）微分方程是二次的非线性微分方程，自 世纪 提出以来，吸引了无数的研究学者对其求一般解，然历经三百多年一直未得到解决，这也使得这一方程成为世界著名难题 年法国数学家刘维尔（）证明了其一般没有初等解法，并证明了若已知方程（）的某个特解（），可做变量变换使方程转化为 方程求解，然而求特解技巧性高，不是易事但是很多实际问题与理论问题又迫切需要求这个方程的解，如微分方程中描述浅水波运动的 方程；科学工程中的鲁棒稳定性、最优控制、扩散问题、随机过程等以致于很多国内外学者研究特殊形式的方程（），研究其解的存在充要条件及如何把它的解公式用初等函数或超越函数表示例如何雨蔚依据几种手段求得方程（）特殊形式的若干解刘玉堂等总结了国内外学者确定方程（）的精确解各种研究方法的综述，说明了方程（）解法研究的主流王明建等研究了一类特型的方程（）有解的充要条件，并给出了它的通解公式；赵临龙针对方程（）在条件下的一个非特解函数，给出 方程的求解过程 戴伟等讨论了方程（）含有指数函数的 微分方程的通解的充要条件，并为特殊的 微分方程求解提供了一定的思路；纳文等利用几何方法给出了 方程的求解迭代公式 张玮玮研究在已知某一类型的特解的前提下，可以解出的方程（），并给出它的通解表达式对于特殊形式的 微分方程求解问题仍有研究前景，基于前人的研究成果，本文从系数函数（），（），（）形式入手研究，证明了当（），（），（）为某些特殊函数时，方程的解的存在唯一性，为此下面给出了引理 另该文通过讨论系数函数某参数的取值，给出了方程（）的通解表达式引理对于一阶微分方程（，），若（，）在矩形域：，上连续且关于满足 条件，则方程在区间上存在唯一解，其中 （，），第 卷第期 菏泽学院学报 年月 收稿日期：基金项目：揭阳职业技术学院科学研究项目（）作者简介：章慧芬（），女，江西南昌人，讲师，硕士，研究方向：微分方程DOI:10.16393/ki.37-1436/z.2023.02.007 （，）（，）主要结论与证明由数学家刘维尔用变换求方程（）解的思路，为了对方程（）进行简化，现设（），（）是未知函数，从而有（）（），代入方程（）整理得（）（）（）（）（），即（）（）（）（）（）（）（）（）令（）（）（），解得一个（）（），从而方程（）可写为（）（）（）（）由此启发，对于方程（），假设（）（），（）（），式中，为常数，且，（）是的连续函数 即方程（）（）（），（）由（，）（）（）（）及（）连续，知（，）连续而（，）（）（）也是连续函数，即（，）关于满足 条件，由引理，方程（）在区间上的解存在且唯一由此可得命题：对于方程（），若系数函数（）在其定义域连续，则方程（）在区间上解的存在且唯一本文通过对方程（）中参数的某些取值，给出下面解的表达式定理假设方程（）中的，则方程（）可通过适当的变量变换化为变量分离方程，通解表方式为（）（），（）（），（为积分常数）定理 假设方程（）中的，则方程（）可通过适当的变量变换化为变量分离方程，通解表达式为 （）（），（）（），（），（）（）（）（），（），为积分常数定理假设方程（）中的，则经过，（）（）变换可将其化为定理中的情况定理假设方程（）中的，则经过，（）变换可将其化为定理中的情况下面对定理加以证明 年 菏泽学院学报 第期证明事实上，方程（）两边同时乘以（）得（）（）（）（），（）在（）中令（），整理得 （）当，即方程（）写为，是变量分离方程，从而可解得 （），（），将（）代入上解，由此，定理得证）当，即方程（）写为，两边同时乘以得，（）令，代入方程（）整理得，（）方程（）是变量分离方程，从而分情况讨论：当，有（）（），其中，因此方程（）的解为 ，为任意常数，另也是其解从而方程（）的解为 （）及，为积分常数当，有（），因此方程（）的解为（）（）及，从而方程（）的解为（）（）及.当，有，即（），因此方程（）的解 （），从而方程（）的解为 （），为积分常数将（）逐个代入上述解，由此，定理得证）当，即方程（）写为，两边同时乘以得（）.（）由（）进而方程（）可变形为（）（），（）年章慧芬：一类 微分方程的解法 第期因此令，代入方程（）得（）（），整理得（）（），方程两边同时加 得（）（），从而得（）（），记 有，即化归到方程（）的情况，由此，定理得证）当，即方程（）写为，令，则，代入方程得 ，两边同时乘以 得（）（），记 ，有，即化归到方程（）的情况，由此，定理得证推广，对于方程（），当，（，），做变换，则方程（）变为（），（）式中再做变换，方程（）变为（），（）式中（）（）方程（）与方程（）在形式上一样，只是右端自变量的指数从变为比较与对的依赖关系不难得出，只要将上述变换过程重复次，就能把方程（）化归到情况应用举例例求方程的解解：由方程知（），（），（），又（），有（）（），（）（），即方程（）中的，因此，代入定理解公式得（）（），式中是积分常数例求方程 的解解：由方程知（），（），（），又（），有（）（），（）（），即方程（）中的，因此，代入定理解公式得 （），式中是积分常数例求方程 的解解：由方程知（），（），（），又（），有（）（），（）（），即方程（）中的，因此，代入定理的解公式得（）（），式中是积分常数 年 菏泽学院学报 第期例求方程的解解：由方程知（），（），（），又（），有（）（），（）（），即方程（）中的，由定理，令，（），原方程化为，再由定理解公式得 （），式中是积分常数结语 微分方程的应用在历史上和近代都很重要，无论在微分方程的经典理论或在近代科学的有关分支均有应用如它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数，也曾出现在现代控制论及向量场分支理论的一些问题中笔者从函数（），（），（）形式入手，给出了当（）（）、且（）、（）为（）的某些特殊函数时，通过讨论的取值得出方程（）的通解公式，并给出了相应的例题验证了结论的正确性 总之，对于系数函数（）、（）、（）是某些特殊函数或它们之间具有某些关系时，方程可以用初等积分法进行求解，如何找出尽可能多的特殊函数和关系是当下研究 微分方程的潮流，从而对特型 微分方程的求解问题仍是具有吸引力的学术研究参考文献：丁同仁，李承治常微分方程第版北京：高等教育出版社，：何雨薇 微分方程解的探讨攀枝花学院学报（自然科学版），（）：刘玉堂，辛祥鹏二次 方程研究综述聊城大学学报（自然科学版），（）：王明建，温少挺一类特型 微分方程有解的充要条件及应用西安文理学院学报（自然科学版），（）：赵临龙二次 方程不变量解法的进一步研究首都师范大学学报（自然科学版），（）：戴伟，叶永升含有指数函数的 微分方程通解的充要条件淮北师范大学学报（自然科学版），（）：纳文，曹越琦，张世强，等 方程的几何求解方法 北京理工大学学报，（）：张玮玮有关里卡蒂方程的系统研究安庆师范大学学报（自然科学版），（）：王高雄，周之铭，朱思铭，等常微分方程第版北京：高等教育出版社，：（，）：，：；（责任编辑：王晓知）年章慧芬：一类 微分方程的解法 第期