一类二项指数和的四次幂均值_袁仁杰.pdf

西北大学学报（自然科学版）年 月，第 卷第 期，（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）；陕西省自然科学基金（）第一作者：袁仁杰，男，陕西安康人，从事解析数论研究。通信作者：王婷婷，女，陕西西安人，教授，硕士生导师，从事解析数论研究，。数论一类二项指数和的四次幂均值袁仁杰，王婷婷（西北农林科技大学 理学院，陕西 杨凌）摘要 指数和（，；）的高次幂均值计算与上界估计方面的研究与诸多数论问题联系密切，例如华林问题等。设 为奇素数，关注参数 ，指数幂 ，条件下的一类二项指数和的四次幂均值计算问题。利用解析方法，借助 特征的奇偶性、正交性及特征和的性质，研究了形如（，；）的二项指数和的四次均值计算，给出了在素数 情况下上述二项指数和的一个精确的计算公式。同时，对于此类研究内容，该文也提出了一些有待解决的公开问题。关键词 二项指数和；四次均值；计算公式；解析方法中图分类号：.：，（，）（，；），（，；），；设 是一个正整数，、是任意整数，则二项指数和定义为（，；）()。其中：是整数；（），。指数和的估计与许多数论问题密切相关，如华林问题、素数分布问题等，在解析数论的发展中起着非常重要的作用。各种形式的指数和（，；）在不同参数下的高次均值计算问题也一直吸引了许多学者的兴趣，近年来有许多这方面的研究。例如，等证明了当 为奇素数时，有恒等式 ()，若 ；，若 式中，表示整数且满足（，）。等研究了（，；）的六次均值，当 是奇素数且满足（），得到了恒等式 ()。等研究了一种新的形式（，；）的四次均值，当是奇素数时，得到了恒等式 ()（），若 ；，若 和 ()（），若 ；（），若 ；（），若 ；（），若|式中：?()是一个整数；()表示模 的勒让德符号；?表示同余方程 的解。事实上，对于常数 （）也是有来源的。文献 中的定理 表明，如果 是一个素数且 ，则有 （）（）。其中：?()是一个整数；()。近期工作中，等对（，；）的六次均值做了研究，证明了对任意的奇素数 和满足（，）的整数，有恒等式 ()（），若 ；（），若 。其中：；是由 唯一确定的。此外，文献 中也对二项指数和的诸多性质进行了研究，此处不再赘述。上述文献中只对 情况下（，；）的均值问题做了一些研究，而对于 的情况到目前为止还未看到相关研究。这是因为随着 的增大，（，；）的均值计算难度会越来越大，对于原来的一些方法可能就不再适用。基于此，本文将尝试考虑参数为 ，下，这种二项指数和的 次幂均值的计算问题，即 ()（）其中，是一个整数。当 时，如果通过模的简化剩余系时，而不完全通过模的简化剩余系，那么，这部分内容无法直接使用高斯和或者三角恒等式的性质来研究。这无疑对（，；）的均值计算增加了难度，研究起来会很复杂。本文借助初等和解析方法，利用模 特征的正交和奇偶的性质将问题进行转化，再结合模 的特征和的性质给出式（）在 和 情况下的一个简洁的计算公式，即定理。定理令 是一个素数。则有恒等式 ()（）。注 在定理 中，只考虑了 这种情况。如果 并且 时，此情况下的问题研究非常复杂，使用本文的方法无法对其进行研究，故对其确切的计算公式目前还无法给出。对于素数 和整数 的情况下，式（）是否存在一个精确的计算公式？这是一个公开的问题，有待于进一步的研究。西北大学学报（自然科学版）第 卷若干引理要证明定理，需要用到以下 个引理。其中，引理的证明需要用到初等或者解析数论中的一些知识，详见文献，这里不再一一列举。引理令 是奇素数。若 为任意模 的非实偶特性，那么有（）()?（）（）。若 为模 的任意非实奇特征，那么有（）()?（）（）（）。式中，表示模 的勒让德符号。证明 利用模 的简化剩余系以及经典 和的相关性质将上述均值展开，得到（）()（）（）（）()（）（）（）()（）?（）?（）（）()（）?（）（）?（）（）()（）?（）（）?（）（）()（）?（）?（）（）()（）如果是任一模 的偶特征，那么（）。又（），则有?（）（）?（）（）()（?）?（）（）（）（?）?（）（）（）（?）?（?）（?）（?）（?）?（）（）（）（）如果 是任一模 的奇特征，那么，（），则有?（）?（）（）()（?）?（）（）（?）?（）（）（?）?（?）（?）（?）?（）（）（）注意到 （?）（?），那么，结合式（）式（），引理 得证。引理令 是一个素数，则有恒等式 ()和（）()（）。证明 首先，利用三角和的性质，有 ()（）（）()（）()()（）()（）（）（）以上过程中借助了恒等式()（）()（）（）（）。第 期 袁仁杰，等：一类二项指数和的四次幂均值注意到（），类似地，又有（）()（）（）（）()（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由式（）和式（），引理 得证。引理令 是一个奇素数，有恒等式（）?（）（）（）（）和（）?（）（）（）（）（）。证明 根据模 特征的相关性质，则有（）（），若 ；，其他 （）又注意到 （），（）当且仅当 ，运用式（）有（）?（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）根据特征的性质，与式（）类似的，又有（）（），若 ；，若 ；，其他|（）运用式（），则有（）?（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（?）（）（）（）（）（）（）（）那么，由式（）和式（），引理 得证。引理 令 ，有恒等式（）（）()（）（）。证明 设 为模 的主特征，根据引理 的结果，容易得到（）（）()（）（）()()()（）?（）（）（）西北大学学报（自然科学版）第 卷 （）（）（）（）（）（）（）（）。引理 得证。引理 令 ，有恒等式（）（）()（）（）。证明 结合引理 的结果，可推出（）（）()（）（）()（）()()（）?（）（）（）（）()（）（）（）（）（）（）（）。引理 得证。定理 的证明首先，由模 特征的正交性，有 （）()（）()（）其次，由引理 和引理，可以得到 （）()（）（）()（）（）()（）（）（）（）（）（）（）最后，结合式（）和式（），得 ()（）如果 ，注意到恒等式()()（）（）由式（）和式（），可以推导出恒等式 ()（）综合以上结果，定理 得证。结语本文的主要研究成果是给出了二项指数和（，；）的四次幂均值，即对任意素数 满足 ，有恒等式 ()（）。同时，也提出了几个关于这类二项指数和的 次幂均值（）的有趣的公开问题。参考文献 ，（）：，：，（）：张文鹏，李海龙 初等数论 版 西安：陕西师范大学出版社，（），（）：，：第 期 袁仁杰，等：一类二项指数和的四次幂均值 ，（）：王婷婷 广义二项指数和的四次幂均值 陕西师范大学学报（自然科学版），（）：（），（）：，（）：，（）：，（）：吕星星 三次 和及二项指数和的混合均值 数学学报（中文版），（）：（），（）：，（）：，（）：，：，（编 辑 张 欢）西北大学学报（自然科学版）第 卷