全国高中数学联赛试题及解析 苏教版12.doc
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1992年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.对于每个自然数n,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 3.设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记λ=(Si)/S,则λ一定满足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b¹1),且,都是方程logx=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 5.设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 6.设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二、填空题(每小题5分共30分) 1.设x,y,z是实数,3x,4y,5z成等比数列,且,,成等差数列,则+的值是______. 2.在区间[0,p]中,三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______. 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是_____. 4.设z1,z2都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则arg()3的值是______. 5.设数列a1,a2,L,an,L满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n, 都有anan+1an+2¹1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+L+a100的值是____. 6.函数f(x)= -的最大值是_____. 三、(20分)求证:16<<17. 四、(20分)设l,m是两条异面直线,在l上有A,B,C三点,且AB=BC,过A,B,C分别作m的垂线AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,BE=CF=,求l与m的距离. 五、(20分)设n是自然数,fn(x)= (x¹0,±1),令y=x+. 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明: fn(x)= 第二试 一、(35分) 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形,H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心.求证:H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置. 二、(35分) 设集合Sn={1,2,L,n}.若X是Sn的子集,把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集. 1.求证Sn的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当n≥3时,Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当n≥3时,求Sn的所有奇子集的容量之和. 三、(35分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三点不在同一条直线上.试证:在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于2. 1992年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.对于每个自然数n,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解:y=((n+1)x-1)(nx-1),∴ |AnBn|=-,于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=,选B. 2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 解:(x-)=0表示y轴右边的半圆,(y+)=0表示x轴下方的半圆,故选D. 3.设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记λ=(Si)/S,则λ一定满足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 解: Si≤4S,故Si≤4,又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时,Si接近2S,故选A. 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b¹1),且,都是方程logx=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 解:x2=4x-4.根为x=2.∴ C=2A,ÞB=180°-3A,sinB=2sinA.Þsin3A=2sinA, Þ3-4sin2A=2.A=30°,C=60°,B=90°.选B. 5.设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 解:=cos±isin.∴ |z2|=8,z1、z2的夹角=60°.S=·4·8·=8.选A. 6.设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数; ∴ f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选C. 二、填空题(每小题5分共30分) 1.设x,y,z是实数,3x,4y,5z成等比数列,且,,成等差数列,则+的值是______. 解:16y2=15xz,y=,Þ16·4x2z2=15xz(x+z)2.由xz≠0,得=,Þ+=. 2.在区间[0,p]中,三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 . 解:7x=5x+2kπ,或7x=-5x+2kπ,(k∈Z)Þx=kπ,x=kπ (k∈Z),共有7解. 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是 . 解:正方体共有8个顶点,若选出的k条线两两异面,则不能共顶点,即至多可选出4条,又可以选出4条两两异面的线(如图),故所求k的最大值=4. 4.设z1,z2都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则arg()3的值是______. 解:cos∠OZ1Z3==-.即∠OZ1Z3==120°, ∴ arg()=或. ∴ arg()3=π. 5.设数列a1,a2,L,an,L满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n, 都有anan+1an+2¹1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+L+a100的值是____. 解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4, 相减,得anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由anan+1an+2¹1,得an+4=an. 又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得a4=4. ∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200. 6.函数f(x)= -的最大值是_____. 解:f(x)= -,表示点(x,x2)与点A(3,2)的距离及B(0,1)距离差的最大值.由于此二点在抛物线两侧,故过此二点的直线必与抛物线交于两点.对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大于|AB|=.即所求最小值为. 三、(20分)求证:16<<17. 证明:=<=2(-), 同时>=2(-). 于是得2(-)<<1+2(-) 即 16<<1+2(-1)<1+2(9-1)=17. 四、(20分)设l,m是两条异面直线,在l上有A,B,C三点,且AB=BC,过A,B,C分别作m的垂线AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,BE=CF=,求l与m的距离. 解:过m作平面α∥l,作AP⊥α于P,AP与l确定平面β,β∩α=l¢,l¢∩m=K. 作BQ⊥α,CR⊥α,垂足为Q、R,则Q、R∈l¢,且AP=BQ=CR=l与m的距离d. 连PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知PD、QE、RF都⊥m. PD=,QE=,RF=. 当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF, Þ=+.解之得d= 当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD-RF,Þ=-.无实解. ∴ l与m距离为. 五、(20分)设n是自然数,fn(x)= (x¹0,±1),令y=x+. 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明: fn(x)= 证明: ⑴ 由yfn(x)-fn-1(x)= ==fn+1(x).故证. ⑵ f1(x)= x+,f2(x)=x2+1+x-2=(x+)2-1=y2-1.故命题对n=1,2 成立. 设对于n≤m(m≥2,m为正整数),命题成立,现证命题对于n=m+1成立. 1. 若m为偶数,则m+1为奇数.由归纳假设知,对于n=m及n=m-1,有 fm(x)= ym-Cym-2+C ym-4+…+(-1)iCym-2i+…+(-1)Cy ① fm-1(x)= ym-1-Cym-3+…+(-1)i-1Cym+1-2i+…+(-1)·Cy ② ∴ yfm(x)-fm-1(x)=ym+1-…+(-1)i(C+C)ym+1-2i+…+(-1)(C+C)y = ym+1-Cym-1+…+(-1)iCym+1-2i+…+(-1)·Cy 即命题对n=m+1成立. 2.若m为奇数,则m+1为偶数,由归纳假设知,对于n=m及n=m-1,有 fm(x)= ym-1-Cym-2+…+(-1)i·Cym-2i+…+(-1)·C y ③ fm-1(x)= ym-1-Cym-3+…+(-1)i-1Cym+1-2i+…+(-1)C ④ 用y乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为 -(-1)C=-(-1)C=(-1). 于是得到yfm(x)-fm-1(x)=ym+1-Cm1ym-1+…+(-1),即仍有对于n=m+1,命题成立 综上所述,知对于一切正整数n,命题成立. 第二试 一、(35分) 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形,H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心.求证:H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置. 证明:连A2H1,A1H2,取A3A4的中点M,连OM,由上证知A2H1∥OM,A2H1=2OM,A1H2∥OM, A1H2=2OM,从而H1H2A1A2是平行四边形,故H1H2∥A1A2 ,H1H2=A1A2. 同理可知,H2H3∥A2A3,H2H3=A2A3; H3H4∥A3A4,H3H4=A3A4; H4H1∥A4A1,H4H1=A4A1. 故 四边形A1A2A3A4≌四边形H1H2H3H4. 由四边形A1A2A3A4有外接圆知,四边形H1H2H3H4也有外接圆.取H3H4∥的中点M1,作M1O1⊥H3H4,且M1O1=MO,则点O1即为四边形H1H2H3H4的外接圆圆心. 又证:以O为坐标原点,⊙O的半径为长度单位建立直角坐标系,设OA1、OA2、OA3、OA4与OX正方向所成的角分别为α、β、γ、d,则点A1、A2、A3、A4的坐标依次是(cosα,sinα)、(cosβ,sinβ)、(cosγ,sinγ)、(cosd,sind). 显然,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的外心都是点O,而它们的重心依次是 ((cosβ+cosγ+cosd),(sinβ+sinγ+sind))、((cosγ+cosd+cosα),(sinα+sind+sinγ))、 ((cosd+cosα+cosβ),(sind+sinα+sinβ))、((cosα+cosβ+cosγ),(sinα+sinβ+sinγ)). 从而,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心依次是 H1(cosβ+cosγ+cosd, sinβ+sinγ+sind)、H 2 (cosγ+cosd+cosα,sinα+sind+sinγ)、 H 3 (cosd+cosα+cosβ,sind+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ,sinα+sinβ+sinγ). 而H1、H2、H3、H4点与点O1(cosα+cosβ+cosγ+cosd,sinα+sinβ+sinγ+sind)的距离都等于1,即H1、H2、H3、H4四点在以O1为圆心,1为半径的圆上.证毕. 二、(35分)设集合Sn={1,2,L,n}.若X是Sn的子集,把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集. 1.求证Sn的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当n≥3时,Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当n≥3时,求Sn的所有奇子集的容量之和. 证明:⑴ 对于Sn的每个奇子集A,当1∈A时,取B=A\{1},当1ÏA时,取B=A∪{1},则B为Sn的偶子集.反之,若B为Sn的偶子集,当1∈B时,取A=B\{1},当1ÏB时,取A=B∪{1},于是在Sn的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应,故Sn的奇子集与偶子集的个数相等. ⑵ 对于任一i∈Sn,i>1,含i的Sn的子集共有2n-1个,其中必有一半是奇子集,一半是偶子集,从而每个数i,在奇子集的和与偶子集的和中,i所占的个数是一样的. 而对于元素1,只要把Sn的所有子集按是否含有3配对(即在上证中把1换成3来证),于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和,与所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现2n-2次,故奇子集的容量和=(1+2+3+…+n)×2n-2=n(n+1)×2n-3. 三、(35分) 在平面直角坐标系中,任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足: ⑴ |xi|≤2,|yi|≤2(i=1,2,3,4,5,6); ⑵ 任何三点不在一条直线上. 试证明:在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不大于2. 证明 如图,满足条件的格点只能是图中A、B、…、Y这25个格点中的6个.把这25个格点分成三个矩形:矩形AEFJ、KOWU、MNYX. 若所取的6个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中,则此三点即满足要求. 若三个矩形中均无所取6点中的3点,则必是每个矩形中有所取的2个点. ⑴ 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的点,则此点与矩形MNYX中的两点满足要求; ⑵ 若上述7点均未取,则A、B、C、H、I、J中必有两点,此时若L、K中有所取的点,则亦有三点满足要求; ⑶ 若L、K亦未取,则必在P、Q、V、U中取了2点,矩形ACHJ中取了2点:此时取P、Q两点,或Q、V两点,或V、U两点,或U、P两点,或Q、U两点,则无论ACHJ中取任一点,与之组成三角形面积均满足要求. 若取P、V两点,则矩形ACHJ中必有一点异于C,取此点与P、V满足要求. 综上可知,必有满足要求的3点存在.- 配套讲稿:
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