2023年人教版高中数学第七章复数知识总结例题.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第七章复数知识总结例题年人教版高中数学第七章复数知识总结例题 单选题 1、在复平面内，复数=1+1+12对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：A 解析：由复数的运算求出，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论 =(1+)2(1)(1+)+12=22+12=12+12，则在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A.2、3+13=（）A1B1CD 答案：C 解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3，化简即可得出答案.解：3+13=(3+)(1+3)(13)(1+3)=3+32+1010=33+1010=.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 3、已知=2+i，则i1+i=（）A1 2iB2+2iC2iD2i 答案：D 分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由=2+i，得=2 i，所以i1+i=2ii1+i=2(1i)(1i)(1+i)(1i)=2(12i+i2)2=2i.故选：D.4、已知=2 i，则(+i)=（）A6 2iB4 2iC6+2iD4+2i 答案：C 分析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.因为=2 ，故=2+，故(+)=(2 )(2+2)=4+4 2 22=6+2 故选：C.5、设z=i(2+i)，则=A1+2iB1+2i C12iD12i 答案：D 分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出 =(2+)=2+2=1+2，所以=1 2，选 D 小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求部分考生易出现理解性错误 6、已知复数满足|2|=1，则|的最大值为（）A1B2C3D4 答案：C 分析：本题可根据|2|=1得出点的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，即可得出结果.因为|2|=1，所以复数在复平面内所对应的点到点(2,0)的距离为1，则点的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，故|的取值范围为1,3，|的最大值为3，故选：C.7、已知复数=1+2i（i为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（）A2B2C2iD2i 答案：B 分析：先求出共轭复数，从而可求出其虚部 由=1+2i，得=1 2i，所以的虚部是2，故选：B 8、复数113i的虚部是（）A310B110C110D310 答案：D 分析：利用复数的除法运算求出z即可.因为=113=1+3(13)(1+3)=110+310，所以复数=113的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.9、设复数满足(3+2)=2021，则复数=（）A2+313B2+313C3213D3+213 答案：A 分析：根据复数的运算法则及共轭复数的概念求得复数.=20213+2=(32)(3+2)(32)=3+2213=2313，=2+313，故选：A.10、已知复数z满足 =2，则z的虚部是（）A1B1CDi 答案：A 分析：设=+(,)，根据 =2，求得=1，即可求得复数的虚部，得到答案.设=+(,)，因为 =2，可得 =(+)=2=2，则2=2，可得=1，所以复数的虚部是1.故选：A 小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.11、复数满足(1+2i)=3 i，则|=（）A2B3C2D5 答案：A 分析：先求出复数 z，再求|.因为(1+2i)=3 i，所以=3i1+2i=(3i)(12i)(1+2i)(12i)=1575i，所以|=(15)2+(75)2=2.故选：A 12、已知=(+3)+(1)i()在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（）A22,4)B2,4C(22,4)D(2,4)答案：A 分析：根据=(+3)+(1)i()在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.解：因为=(+3)+(1)i()在复平面内对应的点在第四象限，所以+3 0 1 0，解得3 1，|=(+3)2+(1)2=22+4+10=2(+1)2+8，因为3 1，所以(+1)2 0,2)，则2(+1)2+8 22,4)，所以复数z的模的取值范围是22,4).故选：A.双空题 13、已知复数z满足+1=2+3i(i为虚数单位)，则|z|=_，复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第_象限.答案：255；四.分析：根据复数的四则运算求出z，由复数的模的计算公式求得|z|，由共轭复数的概念求得，由复数的几何意义即可求解.由+1=2+3，得=221+3=(22)(13)10=25+45，则|=255,=2545，因此复数的共轭复数在复平面内所对应的点为(25,45)，位于第四象限 所以答案是：255；四.14、将复数z=3cos(-2)+isin(-2)化成代数形式为_;|z|=_.答案：3i 3 分析：利用特殊角的三角函数值，即可得到答案；=3(0 i)=3i,|=3，所以答案是：3i,3 15、已知复数=2(1+)(3+6)为纯虚数，则实数=_；|=_ 答案：3 9 解析：根据纯虚数的概念，可得实部为 0，虚部不为 0，即可得解.由复数=2(1+)(3+6)为纯虚数，即=(2 3)+(2 6)为纯虚数，2 3=02 6 0，解得=3，=9，|=9 小提示：本题考查了纯虚数的概念，考查了实部和虚部的范围，计算量不大，属于基础题.16、已知a，(+)2=4（i是虚数单位），则|+|=_，=_.答案：2 2 解析：由复数运算法则求出、的值再代入|+|和计算即可.解：因为(+)2=2 2+2=4，所以2 2=0且=2，所以=2或=2，则|+|=2，=2.所以答案是：2；2.小提示：本题主要考查复数的基本运算和复数的模长计算，属于基础题.17、若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数，其中mR，则|z|=_，=_.答案：12 -12i 分析：结合纯虚数概念，实部为 0，虚部不为 0，联立求解即可 由条件知2+2-3 0，2-9=0，所以m=3，因此z=12i，故|z|=12，=-12i.所以答案是：12；12 解答题 18、已知复数z1满足：|z1|=1+3iz1.（1）求z1（2）若复数z2的虚部为 2，且21是实数，求2.答案：（1）z1=-4+3i；（2）2=83 2.分析：（1）设z1=x+yi(x，yR)，代入|z1|=1+3iz1，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则z1可求；（2）令z2=a+2i，aR，由（1）知，z1=-4+3i，代入21，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求得a值，则答案可求.解：（1）设z1=x+yi(x，yR)，则2+2=1+3 (+)=(1 )+(3 )，故2+2=1 0=3 ，解得=4=3，z1=4+3i；（2）令z2=a+2i，aR，由（1）知，z1=-4+3i，则21=+24+3=(+2)(43)(4+3)(43)=4+6253+825，21是实数，3a+8=0，即a=83 2=83+2，则2=83 2.19、如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为1，对应的复数为 2+2i，对应的复数为 4-4i.（1）求D点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD的面积.答案：（1）34i；（2）16.分析：（1）利用复数的几何意义向量的坐标运算性质平行四边形的性质即可得出.（2）利用向量垂直与数量积的关系模的计算公式矩形的面积计算公式即可得出.解：（1）依题点A对应的复数为1，对应的复数为 2+2i，得A(-1，0)，=(2，2)，可得B(1，2).又 对应的复数为 4-4i，得=(4,-4)，可得C(5,-2).设D点对应的复数为x+yi，x，yR.得=(x-5，y+2)，=(-2，-2).ABCD为平行四边形，=，解得x=3，y=-4，故D点对应的复数为 3-4i.（2）=(2，2)，=(4,-4)，可得：=0，|=22，|=42 故平行四边形ABCD的面积为22 42=16 20、设=+(,|1)，|=1（1）求证：=+11是纯虚数；（2）求|+2+2|的取值范围 答案：（1）证明见解析；（2）22,5).分析：（1）分析得出|2=2+2=1，利用复数的除法化简复数，可证得结论成立；（2）分析得出1 1，计算得出|+2+2|=82 12+5，利用二次函数的基本性质可求得|+2+2|的取值范围.（1）由题意可得|2=2+2=1，所以，=+11=+1+1+=(+1+)(1)(1+)(1)=(21)2+2(1)2+2=2(1)2+2，|1，则 0，因此，=+11是纯虚数；（2）+2+2=+2()+2=(3+2)，所以，|+2+2|2=(3+2)2+2=92+12+4+2=82+12+5=8(+34)2+12，因为2+2=1，则2=1 2 0，解得1 1，|1，则1 1，所以，|+2+2|2=8(+34)2+12 12,25)，因此，|+2+2|22,5).小提示：关键点点睛：本题考查复数模的取值范围的求解，解题的关键在于将复数的模转化为关于的二次函数的值域来求解，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域的求解.