2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用易错题集锦.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第六章平面向量及其应用易错题集锦年人教版高中数学第六章平面向量及其应用易错题集锦 单选题 1、已知向量,满足|=1,，则向量 2在向量 方向上的投影向量为（）A B1 C-1D 答案：A 分析：根据给定条件，求出(2)，再借助投影向量的意义计算作答.因|=1,，则(2)=2 2 =1，令向量 2与向量 的夹角为，于是得|2|cos|=(2)|=，所以向量 2在向量 方向上的投影向量为.故选：A 2、已知向量=(2,2)，=(,1)，若=2，则=（）A5B4C3D2 答案：B 分析：先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.解：根据题意得：=(,1)(2,2)=(2,1)，所以=2(2)+2 (1)=2 4 2=2，解得=4.故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.3、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若=，=，=3，则=（）A1225 +925B1625 +1225 C45 +35D35 +45 答案：B 分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=，=，=3，则=+=+34=+34(+)=+34(34+)=916+34，解得=1625+1225，所以=1625 +1225.故选：B 4、已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若=2，=60，则 =（）A2B12C72D12 答案：B 分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为,轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.解：如图，以点为坐标原点，,所在直线为,轴建立平面直角坐标系，由=2，=60，所以(0,3)，(1,0)，(1,0)，(0,32)，所以=(1,3),=(1,32)，所以 =1 32=12.故选：B 小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.5、锐角 中，角、所对的边分别为、，若=7、=8，=(12,cos)，=(sin，32)，且 ，则 的面积为（）A3B33C53D103 答案：D 分析：先由向量垂直得到=3，利用余弦定理求出=3或=5，利用锐角三角形排除=3，从而=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sin 32cos=0，故tan=3，因为 (0,2)，所以=3，由余弦定理得：cos=64+24928=12，解得：=3或=5，当=3时，最大值为B，其中cos=49+964273 0，故B为锐角，符合题意，此时=12sin=12 8 5 32=103.故选：D 6、在 中，角,的对边分别是,，若=45,=60,=23，则 等于（）A624B6+24C6 2D6+2 答案：D 分析：先求出，再由正弦定理求解即可.解：在 中，=180 45 60=75 由正弦定理可知sin=sin，所 以sin75=23sin60，故=23sin75sin60=4sin75=4sin(30+45)=4 6+24=6+2 故选：D.7、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则=,=其中正确命题的个数是（）A1B2 C3D4 答案：A 分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确 对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形为平行四边形，则=，且方向相同，=但方向相反，所以与不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.8、已知平面向量(1，2)，(2，m)，且 ，则 2 3()A(4，8)B(8，16)C(4，8)D(8，16)答案：A 分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.，1m2(2)，m4，(2，4)，2 3(2，4)(6，12)(4，8)故选：A.9、已知=(2,3)，=(3，t)，|=1，则=A-3B-2 C2D3 答案：C 分析：根据向量三角形法则求出 t，再求出向量的数量积.由=(1,3)，|=12+(3)2=1，得=3，则=(1,0)，=(2,3)(1,0)=2 1+3 0=2故选 C 小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 10、定义空间两个向量的一种运算 =|sin,，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A()=()B()=()C(+)=()+()D若 =(1,1)，=(2,2)，则 =|12 21|答案：D 分析：A按的正负分类讨论可得，B由新定义的意义判断，C可举反例说明进行判断，D与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断 A()=|sin，0时，=，()=|sin=()，=0时，()=0,()=0，成立，0时，=，sin=sin()=sin ()=|sin=()，综上，A 不恒成立；B 是一个实数，()无意义，B 不成立；C若 =(0,1),=(1,0)，=(1,1)，则 +=(1,1)，=0，(+)=|+|sin0=2 2 0=0，=4,=4，()+()=1 2 sin4+1 2 sin4=2，(+)()+()，C 错误；D若 =(1,1)，=(2,2)，则|=12+12，|=22+22，cos=12+1212+1222+22，sin=1 cos2=1(12+12)2(12+12)(22+22)=|1221|(12+12)(22+22)，所以 =|sin=|12 21|，成立 故选：D 小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin 用cos，而余弦可由数量积进行计算 11、若非零向量 ,满足|=3|,(2 +3)，则 与 的夹角为（）A6B3C23D56 答案：C 分析：设 与 的夹角为,|=，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为 0 得cos=12，进而得答案.解：根据题意，设 与 的夹角为,|=，则|=3|=3，若(2 +3)，则(2 +3)=2 +3 2=62cos+32=0，即cos=12，又由0 ，则=23，故选：C 12、内角,的对边分别为,，已知2+2 2=，则=（）A6B56C3D23 答案：C 分析：利用余弦定理求出cos，再求出即可.2+2 2=,cos=2+222=2=12，0 ，=3.故选：C 双空题 13、已知|=6，|=8，则|+|的最大值为_；若|=6，|=8，且|=10，则|+|=_.答案：14 10 分析：根据数量积的运算性质，计算|+|的平方即可求出最大值，|=10两边平方，可得，计算|+|的平方即可求解.|+|2=(+)2=2+2+2=|2+2|cos +|2=36+64+2 48cos =100+96cos 100+96=196，当且仅当,同向时等号成立，所以|+|14，即|+|的最大值为 14，由|=10两边平方可得：|2=()2=2 2+2=100 2=100，所以=0，所以|+|2=(+)2=2+2+2=100，即|+|=10.所以答案是：14；10 小提示：本题主要考查了数量积的运算性质，数量积的定义，考查了运算能力，属于中档题.14、在 中，sin2+sin2 sin2=sinsin，点在线段上，且=3，=2，则=_；面积的最大值为_.答案：3 332 分析：根据式子的特点选择正弦定理化简，利用题中信息得出=23+13，平方后得b,c的关系式，利用基本不等式求最值；法二中将三角形面积表示为角的关系式，利用角的范围得出面积的范围.由正弦定理：2+2 2=，则cos=2+222=12 又 (0,)，所以=3，即=3；法一：=3，则:=1:2，所以=23+13 则 2=49 2+19 2+49 ，即4=492+192+29 由基本不等式知：492+192+29 23，即4 23，得 6，当且仅当492=192时取等号，所以=12sin=34 332；法二：设=，=，则=3，(0,3)，=在 和 中，由正弦定理：sin=sin，sin(3)=sin()又=3，则=2，所以=sin(3)2sin+=，即12 2sin+12 2sin(3)=12sin3 2sin+2sin(3)=32，又=sin(3)2sin，即2sin=sin(3)所以6sin=32，得=43sin，则=23sin(3)所以=12sin3=34=63sinsin(3)=33cos(2 3)12，(0,3)，则2 3(3,3)，所以cos(2 3)(12,1 因此(0,332，即 面积的最大值为332.15、在等腰梯形中，设=，=，=2，为的中点，则=_（用 和表示），当=_时，|最小.答案：32 +12 12 分析：第一空，根据向量加法的三角形法则可得；第二空，设=，则 =，由此即可求出答案 解：为的中点，=12(+)=12+12(+)=12 +12+12 2 =32 +12，如图，设=，则 =，当 时，|最小，此时由几何知识易得=12，所以答案是：32 +12，12 小提示：本题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合思想，属于中档题 16、在 中，=60，=1，是的中点，=3，则=_，cos=_.答案：13 23913 分析：在 中，由余弦定理得=2,在 中，由余弦定理得=13,在 中，再利用余弦定理求解即可 由题意作出图形，如图，在 中，由余弦定理得2=2+2 2 cos，解得=2，所以=2=2=4，在 中，由余弦定理得2=2+2 2 cos=1+16 2 1 4 12=13，所以=13.在 中，由余弦定理得cos=2+222=23913.所以答案是：13；23913 17、如图，已知正方形ABCD的边长为 1，=,=,=，则|+|=_；|+|=_ 答案：22 2 分析：根据平面向量加法和减法的运算法则，结合正方形的性质、勾股定理进行求解即可.因为正方形ABCD的边长为 1，所以=2+2=1+1=2，|+|=|+|=|+|=2|=22，|+|=|+|=|+|=|+|=2|=2，所以答案是：22；2 解答题 18、平面内给定三个向量 =(3,2)，=(1,2)，=(4,1).（1）求满足 =的实数，；（2）若(+)/(2 )，求实数的值.答案：（1）=59，=89；（2）=1613.分析：（1）依题意求出 的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出 +与2 的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；解：（1）因为 =(3,2)，=(1,2)，=(4,1)，且 =(3，2)=(1，2)(4，1)=(4，2 ).4=32 =2，解得=59，=89.（2）+=(3，2)+(4，1)=(3+4，2+).2 =2(1，2)(3，2)=(5，2).5(2+)2(3+4)=0，解得=1613.19、在 中，sin+cos=0(1)求；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使 存在且唯一确定，求 的面积 条件：=2；条件：sin=1010；条件：=10 答案：(1)34(2)1 分析：(1)利用正弦定理将已知条件边化角，化简即可.(2)若选择，可以确定 的三个角，但无法确定边长，不符合题意；若选，利用正弦定理求边长，根据角度关系求sin，即可求出面积；若选，利用余弦定理求边长，再求出，即可求面积.（1）因为sin+cos=0，由正弦定理可得sinsin+sincos=0，因为sin 0，所以sin+cos=0，即tan=1，因为 (0,)，则=34；（2）若选择，由sin=2sin，可得sin=510，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.若选择，由正弦定理sin=sin，及=10，sin=1010，得10sin34=1010，所以=2，因为=34，所以 (0,4)，cos=1 sin2=31010，sin=sin(+)=sincos+cossin=2231010221010=55，所以=12sin=12 10 2 55=1 若选择，由余弦定理得2=2+2 2cos，及=2，得10=22+2 22222，解得=2，所以=2，所以=12sin=12 2 2 22=1 20、的内角,的对边分别为,，已知sin+2=sin（1）求；（2）若为锐角三角形，且=1，求面积的取值范围 答案：(1)=3;(2)(38,32).分析：(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得=3.(2)根据三角形面积公式=12 sin，又根据正弦定理和=1得到关于的函数，由于 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2来计算的定义域，最后求解()的值域.(1)根据题意sin+2=sin，由正弦定理得sinsin+2=sinsin，因为0 0，消去sin得sin+2=sin 0 ，0+2 因为故+2=或者+2+=，而根据题意+=，故+2+=不成立，所以+2=，又因为+=，代入得3=，所以=3.(2)因为 是锐角三角形，由（1）知=3，+=得到+=23，故0 20 23 2，解得6 2.又应用正弦定理sin=sin，=1，由三角形面积公式有：=12 sin=122 sin=122sinsin sin=34sin(23)sin=34sin23coscos23sinsin=34(sin231tancos23)=381tan+38.又因6 33,故38381tan+3832，故38 32.故的取值范围是(38,32)小提示：这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题.