2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点突破.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点突破年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点突破 单选题 1、在 中，若 +2=0，则 的形状一定是（）A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 答案：B 分析：先利用数量积运算化简得到cos=2，再利用余弦定理化简得解.因为 +2=0，所以cos()+2=0，所以cos=2，所以 2+222=2，所以2+2=2，所以三角形是直角三角形.故选：B 2、过 的中线的中点作直线分别交于两点，若=,=，则1+1=（）A4B43C3D1 答案：A 分析：由为的中点得到 =12(+)，设=，结合=,=，得到=(1)+，再由 =12，得到14(+)=(1 )+，然后利用 与 不共线求得m，n即可.解：由为的中点可知，=+=+12=+12()，=12(+)，设=，则=+=+，=+()=(1 )+，=,=，=(1 )+=12，14(+)=(1 )+，与 不共线，=14(1 )=14，解得=14=14(1)，1+1=4 故选：.3、锐角 中，角、所对的边分别为、，若=7、=8，=(12,cos)，=(sin，32)，且 ，则 的面积为（）A3B33C53D103 答案：D 分析：先由向量垂直得到=3，利用余弦定理求出=3或=5，利用锐角三角形排除=3，从而=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sin 32cos=0，故tan=3，因为 (0,2)，所以=3，由余弦定理得：cos=64+24928=12，解得：=3或=5，当=3时，最大值为B，其中cos=49+964273 0，故B为锐角，符合题意，此时=12sin=12 8 5 32=103.故选：D 4、若点M是ABC所在平面内的一点，且满足 3 0，则ABM与ABC的面积之比为（）A12B13C14D25 答案：B 分析：由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.如图，D为BC边的中点，则=12(+)因为3 0 所以3=+=2，所以=23 所以=23=13.故选：B 5、在 中，已知=120，=19，=2，则=（）A1B2C5D3 答案：D 分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.设=,=,=，结合余弦定理：2=2+2 2cos可得：19=2+4 2 cos120，即：2+2 15=0，解得：=3（=5舍去），故=3.故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 6、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若=，=，=3，则=（）A1225 +925 B1625 +1225 C45 +35 D35 +45 答案：B 分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=，=，=3，则=+=+34 =+34(+)=+34(34+)=916+34，解得=1625+1225，所以=1625 +1225.故选：B 7、已知单位向量 ，则下列说法正确的是（）A =B +=0 C|=|D /答案：C 分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于 A，向量 ，为单位向量，向量 ，的方向不一定相同，A 错误；对于 B，向量 ，为单位向量，但向量 ，不一定为相反向量，B 错误；对于 C，向量 ，为单位向量，则|=|=1，C 正确；对于 D，向量 ，为单位向量，向量 ，的方向不一定相同或相反，即 与 不一定平行，D 错误.故选：C.8、已知向量 =(1,)，=(2,4)，若 与 共线，则=（）A1B1C2D2 答案：C 分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2=4，即=2.故选：C 9、设为实数，已知向量 =(-1，2)，=(1，).若 ，则向量+2 与之间的夹角为（）A4B3C23D34 答案：A 解析：根据向量垂直的坐标运算解得=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量 =(1,2),=(1,)，若 ，则 =1 1+2=0，解得=12，所以 +2 =(1,3)，所以(+2 )=1 (1)+3 2=5，|+2|=12+32=10，|=(1)2+22=5，设向量 +2 与 之间的夹角，则0 ，cos=(+2 )|+2|=5105=22，所以向量 +2 与 之间的夹角为4.故选：A.10、在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，则 等于（）A38+34 B38+12 C12+34 D14+38 答案：B 分析：根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.因为在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，所以可得：=+=12+12=12+14(+)=12+38 故选：B.11、在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=（）A19B13C12D23 答案：A 分析：根据已知条件结合余弦定理求得，再根据cos=2+222，即可求得答案.在 中，cos=23，=4，=3 根据余弦定理：2=2+2 2 cos 2=42+32 2 4 3 23 可得2=9，即=3 由 cos=2+222=9+916233=19 故cos=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12、已知向量=(2,2)，=(,1)，若=2，则=（）A5B4C3D2 答案：B 分析：先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.解：根据题意得：=(,1)(2,2)=(2,1)，所以=2(2)+2 (1)=2 4 2=2，解得=4.故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.双空题 13、设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos=4，已知 的面积等于 10，=4，则tan=_，a的值为_.答案：34 253 分析：首先利用正弦定理求得tan=34，再根据同角三角函数关系求得sin=35，最后根据三角形的面积公式列出关于的方程，解方程求得的值即可.因为3cos=4，由正弦定理得3sincos=4sin，在 中，0，所以3cos=4sin即tan=34，又根据sin2+cos2=1，所以sin=35，又 的面积等于 10，=4，所以=12sin=12 4 35=65=10,所以=253；所以答案是：34；253.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.14、已知平面向量 ，满足 与 的夹角为锐角，|=4，|=2，|=1，且|+|的最小值为3，则实数的值是_，向量(12 )()的取值范围是_.答案：14 3 23,3+23 解析：由题可知|+|2的最小值为3，用含t的式子表示|+|2，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于 3 构建方程，解得 =4，由 与 的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得t；表示|12 +|，展开(12 )()（设=12 +,），将已知模长代入展开式，可化简为3 23cos，利用三角函数的值域，得答案.由题|+|2=|2+2 +2|2 因为|=4，|=2，所以|+|2=22+2 +2 42=162+2 +4 因|+|最小值为3，且由二次函数分析可知，当=2 216=16时，|+|2最小 所以|+|2min=16(16)2+2 (16)+4=()216+4=(3)2，解得 =4 又因为 与 的夹角为锐角，所以 =4，故=16=14；因为(12 )()=2 12 +12 =2+12 (12 +)又有|12 +|=(12 +)2=14 2+2=14 42+4+22=23 将模长代入(12 )()=2+12 (12 +)，设=12 +,即原式=2+12|12 +|cos=12+12 4 23 1cos=3 23cos 因为cos 1,1，所以(12 )()3 23,3+23 所以答案是：14；3 23,3+23 小提示：本题考查了由平面向量的模的最值求参数，还考查了以平面向量的运算法则、数量积运算为载体转化为三角函数求最值问题，属于难题.15、如图，四边形中，/，=5，=2，=13，=0若是线段的动点，则cos=_，则 的最大值为_ 答案：1313#11313 6 分析：求得=，=+25，由 =0可求得 的值，结合平面向量数量积可求得cos；计算得出=35，计算出 的值，设=(0 1)，即可求得 的最大值.因为四边形中，/，=5，=2，则=25，=，=+=+25，因为 =()(+25)=235 25 2=0，即13 35 25 52=0，可得 =5，因此，cos=|=5513=1313，=+=+25=35，所以，=(35)(+25)=215 625 2=6，设=(0 1)，则 =6 6，所以，的最大值为6.所以答案是：1313；6.16、在 中，内角，所对的边分别为，若=3，+=1，则 面积的最大值为_，周长的取值范围为_.答案：316 32,2)解析：利用二次函数知识可得的最大值，根据三角形面积公式可得 面积的最大值；利用余弦定理可得 12，根据三角形两边之和小于第三边可得 1，从而可得 周长的取值范围 由+=1得=1 ，所以=(1 )=(12)2+14，所以当=12时，的最大值为14，所以=12sin 121432=316，即 面积的最大值为316；由余弦定理可得2=2+2 2cos=(+)2 3=1 3 1 3 14=14，所以 12，又 +=1，所以12 1，所以32 +2，即 周长的取值范围为32,2).所以答案是：316；32,2).小提示：关键点点睛：求三角形面积最大值的关键是求出的最大值，利用二次函数知识可得的最大值，求三角形周长的取值范围的关键是求出的取值范围，利用余弦定理和三角形两边之和小于第三边可得的取值范围.17、在锐角 中，2 2=，则角的范围是_，5tan5tan+6sin的取值范围为_.答案：6 4 230,11)分析：由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求 解：因为2 2=及2=2+2 2cos，所以 2cos=，由正弦定理得sin 2sincos=sin，所以sin(+)2sincos=sin，整理得sincos sincos=sin，即sin()=sin，所以 =，即=2，又 为锐角三角形，所以 0 20 2 20 3 2，解得6 4，故3 2，32 sin 1，则5tan5tan+6sin=5(cossincossin)+6sin=5 sin()sinsin+6sin=5sinsinsin+6sin=6sin+5sin，令=sin，则 (32,1)，()=5+6在306,1)上单调递增，在(32,306)上单调递减，又(1)=11，(32)=1933，(306)=230 故()230,11)，即 所以答案是：6 4；230,11)解答题 18、已知向量 =(1,1)，=(0,2)，在下列条件下分别求k的值：(1)+与 平行；(2)+与 的夹角为23 答案：(1)1(2)1 3 分析：（1）首先求出 +与 ，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出(+)()，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；（1）解：因为 =(1,1)，=(0,2)，所以 +=(1,1)，=(,+2)，又 +与 平行，所以=+2，解得=1；（2）解：因为 +=(1,1)，=(,+2)，所以(+)()=1 +(1)(+2)=2，因为 +与 夹角为23，所以(+)()=|+|cos23，即2=2 2+(+2)212，解得=1 3 19、在(+)(+)=：cos(+)=sin()；tan+2=sin这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=22，_，_？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.答案：答案见解析 解析：若选和：化简由余弦定理可求得=3，则利用和差角公式化简可得=4，进而由正弦定理可求得b的值；若选和：化简由余弦定理可求得=3，利用三角形内角和及切化弦可化简为cos2sin2=sin=2sin2cos2，进而求得=2，在在 中，=tan3即可求得结果.若选和：利用和差角公式化简可得=4或=34.利用三角形内角和及切化弦可化简为cos2sin2=sin=2sin2cos2，进而求得=2，则 为等腰直角三角形，所以=22.选择条件和.因为(+)(+)=，所以2+2 2=，由余弦定理，得cos=2+222=12.因为0 ，所以=3.因为cos(+)=sin()，所以cos(+3)=sin(3)，所以coscos3 sinsin3=sincos3 cossin3，所以sin=cos.因为0 ，所以=4.在 中，由正弦定理sin=sin，得22sin4=sin3.所以=22sin3sin4=23.选择条件和.因为(+)(+)=，所以2+2 2=.由余弦定理，得cos=2+222=12.因为0 ，所以=3.因为tan+2=sin，且tan+2=tan2=sin2cos2=cos2sin2，所以cos2sin2=sin=2sin2cos2.因为0 ，所以cos2 0，所以sin22=12.因为0 0，所以sin2=22，可得=2.所以在 中，=tan3=26.选择条件和.因为cos(+)=sin()，所以coscos sinsin=sincos cossin，所以(sin cos)(sin+cos)=0.所以sin=cos或sin=cos.因为0 ，0 ，所以=4或=34.又因为tan+2=sin，且tan+2=tan2=sin2cos2=cos2sin2，所以cos2sin2=sin=2sin2cos2.因为0 ，所以cos2 0，所以sin22=12.因为0 0，所以sin2=22，可得=2.在 中，+=，所以=4，=2，=4.所以 为等腰直角三角形，所以=22.小提示：思路点晴：（1）先选择哪个条件，（2）再根据正余弦定理化简求值.20、在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b3，sinA+asinB23（1）求角A的大小；（2）求ABC周长的取值范围 答案：（1）3；（2）(9+332,9+33)分析：（1）利用正弦定理将 sinB转换成 sinA，即可得到角A；（2）利用正弦定理将边a，c转换成与 sinB有关系的量，然后根据角B的范围求三角形周长即可 解：（1）sin=sin=sin，asinBbsinA，sinA+asinBsinA+bsinA4sinA23，sin=32，ABC为锐角三角形，于是=3（2）由正弦定理：sin=sin=sin可得=332sin,=3sinsin，+3=332+3sinsin+3=332+3sin(23)sin+3，周长=332+3(32cos+12sin)sin+3=3321+cossin+92=3322cos222sin2cos2+92=332tan2+92，又 ABC为锐角三角形，0 20 23 2，6 2，2(12,4)tan2(2 3,1)，1tan2(1,2+3)，周长的取值范围为(9+332,9+33)小提示：思路点睛：利用正弦定理求解三角形周长的一般步骤（已知一边及其对角）：（1）先根据正弦定理将另外两边表示为其对角的正弦值形式；（2）根据周长的计算公式将周长表示为角的正弦形式，根据角度关系将周长公式中的角转化为同一个角；（3）根据三角形的形状确定出（2）“同一个角”的范围，结合三角恒等变换的公式求解出周长的范围.