2023年人教版高中数学第八章立体几何初步总结(重点).pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步总结年人教版高中数学第八章立体几何初步总结(重点重点)超详细超详细 单选题 1、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.2、下列命题错误的是（）A直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形 B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 答案：B 分析：利用直棱柱的几何特征可判断 A 选项的正误；利用棱台的定义可判断 B 选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断 C 选项的正误；利用棱台的几何特征可判断 D 选项的正误.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A 正确；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B 错误；在三棱锥 中，、两两垂直，=，故 平面，平面，则平面 平面，同理可得平面 平面，平面 平面，C 正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D 正确.故选：B.3、若直线和没有公共点，则与的位置关系是（）A相交 B平行 C异面 D平行或异面 答案：D 分析：根据直线与直线的位置关系即可判断 因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.4、如图，在下列四个正方体中，,为正方体的两个顶点，,为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（）AB CD 答案：A 分析：利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项 对于 A 选项，连接、交于点，则为的中点，设 =，连接，因为、分别为、的中点，则/，若/平面，平面，平面 平面=，则/，在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾，假设不成立，故 A 选项中的直线与平面不平行 对于 B 选项，连接，如下图所示：因为/且=，所以，四边形为平行四边形，所以/，因为、分别为、的中点，所以/，所以/，因为 平面，平面，所以，/平面；对于 C 选项，连接，如下图所示：因为/且=，所以，四边形为平行四边形，所以/，因为、分别为、的中点，所以/，所以/，因为 平面，平面，所以，/平面；对于 D 选项，连接，如下图所示：因为/且=，所以，四边形为平行四边形，所以/，因为、分别为、的中点，则/，所以/，因为 平面，平面，所以，/平面；故选：A 5、已知直线a，b，平面，=，/，那么“”是“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 分析：过直线作平面，交平面于直线，/，/，由 可推出 ，由 可推出 ，故“”是“”的充要条件 解：若 ，过直线作平面，交平面于直线，/，/，又 ，又 ，若 ，过直线作平面，交平面于直线，/，/，又 ，=，故“”是“”的充要条件，故选：6、在下列判断两个平面与平行的 4 个命题中，真命题的个数是（）、都垂直于平面r，那么 、都平行于平面r，那么 、都垂直于直线l，那么 如果l、m是两条异面直线，且 ，那么 A0B1C2D3 答案：D 分析：在正方体中观察可判断；由平面平行的传递性可判断；由线面垂直的性质可判断；根据面面平行判定定理可判断.如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故错误；由平面平行的传递性可知正确；由线面垂直的性质可知正确；过直线l做平面与、分别交于1,2，过直线m做平面与、分别交于1,2，因为 ，所以 1,2，所以1 2 因为1，2，所以1 同理，1 又l、m是两条异面直线，所以1,2相交，且1，1 所以 ，故正确.故选：D 7、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A23B24C26D27 答案：D 分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，因为=3,=120，所以=332,=32，因为重叠后的底面为正方形，所以=33,在直棱柱 中，平面BHC，则 ,由 =可得 平面，设重叠后的EG与交点为,则=13 33 33 32=272,=12 33 32 33=814 则该几何体的体积为=2=2 814272=27.故选：D.8、如图，在三棱柱 111中，M，N分别为棱1，1的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（）A/B四边形为梯形 C四边形为平行四边形 D11/答案：B 解析：由已知条件及线面平行的性质可得 且 ，可得四边形为梯形，可得答案.解：在11中，=1，=1，.又 平面，平面，平面.又 平面，平面 平面=，.显然在中，四边形为梯形.故选：B.小提示：本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.9、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD，则原四边形ABCD的面积是（）A14B102C28D142 答案：C 分析：根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解.ADy轴，ABCD，ABCD，原图形是一个直角梯形 又AD4，原直角梯形的上、下底及高分别是 2，5，8，故其面积为=12(2+5)8=28.故选：C 10、下列命题：有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3 答案：A 分析：均可举出反例.如图 1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故错误；如图 2，满足两侧面11与底面垂直，但不是直棱柱，错误；如图 3，四边形11为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，错误；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，错误 故选：A 11、已知圆锥的母线长为 3，其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的体积为（）A23B223CD2 答案：B 分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为，故可得2=23 3，解得=1，设圆锥的高为，则=32 12=22，则圆锥的体积=13 2 =13 22=223.故选：B.12、已知球O的体积为36，则该球的表面积为（）A6B9C12D36 答案：D 分析：根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.设球的体积为，则由题可得433=36，解得=3，则该球的表面积为4 32=36.故选：D.双空题 13、三个平面最多能把空间分为_部分，最少能把空间分成_部分.答案：8 4 解析：可画出图形说明：三个平面都平行或者两个平行一个与它们相交或者三个平行过同一条直线或者两两相交有三条交线这三条交线平行，或交于同一点 三个平面互相平行时，可把空间分成 4 部分.如图（3）.三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成 6 部分.如图（4）.三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成 6 部分.如图（5）.三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成 7 部分.如图（6）.三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成 8 部分.如图（7）.综上可知，三个平面可把空间分成 4 或 6 或 7 或 8 部分.小提示：本题考查平面分空间问题，解题时通过画出平面增加立体感 14、如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积为_（单位：cm3），表面积为_（单位：cm2）.答案：83 6+22+25 分析：利用三视图还原几何体，再利用体积、面积公式计算即可.该几何体是底面为正方形的四棱锥，其体积为13 2 2 2=83，表面积为2 2+12 2 2+2 12 2 5+12 2 22+(5)2 12=6+22+25.所以答案是：83；6+22+25 15、如图，模块均由若干个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成 （1）若从模块中拿掉一个小正方体，再从模块中选出一个模块放到模块上，使得模块成为一个长方体，则中选出的模块可以是_（答案不唯一）（2）若从模块中选出三个放到模块上，使模块成为棱长为 3 的大正方体，则选出的三个模块是_（答案不唯一）答案：（或或）（或）分析：（1）结合条件可得；（2）根据正方体的结构特征及条件可得.（1）由已知条件可知，中选出一个模块可以是，也可以是，也可以是（2）以为例，中间层用补齐，最上层用，还可以是，中间层用补齐，最上层用，所以答案是：（或或），（或）16、九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑在如图所示的鳖臑 中，平面，=90，=4，=2，为的中点，为 内的动点(含边界)，且 当在上时，=_，点的轨迹的长度为_ 答案：2 255#255 分析：取的中点，可得 ，根据已知条件可证明面 面，再由面面垂直的性质定理可得 ，可得=12=2；过点作 ，垂足为，可证明 面，得到点的轨迹，进而可得轨迹的长度.取的中点，连接，则/，因为=90，所以 ，因为 平面，面，所以面 面，因为面 面=，面，所以 面，因为 面，所以 ，=12=2，过点作 ，垂足为，则 面，即点在线段上运动时，所以点的轨迹为线段，则=sin=2=2 222+42=255，所以答案是：2；255.17、如图，直三棱柱 111中，=23，=2，1=27，为线段1上动点，+1的最小值为_，当tan(+11)最大时，1=_.答案：8 4729#2+479 分析：以1为轴，将四边形11旋转到与四边形11同在一个平面内，利用当、1三点共线时，可求得+1的最小值；设=(0 27)，则1=27 ，利用基本不等式可求得tan(+11)，利用等号成立的条件求出的值，即可求得1的值.由已知条件知=2+2=4，以1为轴，将四边形11旋转到与四边形11同在一个平面内，连接1交1于点，此时、1三点共线距离最小，点满足使+1最小，易得1=(2+4)2+(27)2=8，设=(0 27)，则1=27 ，在Rt 中，tan=4，在Rt 11中，tan11=111=272，所以，tan(+11)=tan+tan111tantan11=4+2721(27)8=872227+8，令=47 ，则27 47，令()=2(47)227(47)+8=222+6467=2+6467 226467=1837=8+37(837)(8+37)=8+37.当且仅当=47 =8时，即当=47 8时，等号成立，此时1=478827=(274)(4+7)(47)(4+7)=4729.所以答案是：8；4729.解答题 18、某圆锥的侧面展开图的面积为12，扇形的圆心角 (0,)的正切值为3，求圆锥的体积 答案：1623 分析：由扇形的面积公式与圆锥的体积公式求解 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为 由扇形的圆心角的正切值为3，得扇形的圆心角为23 因为扇形的面积为12，所以12232=12，解得=6 又圆锥底面周长为2=23=4，解得=2，所以圆锥的高=2 2=62 22=42，所以圆锥的体积=3 22 42=1623 19、四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为 4，E为AB中点，PE平面ABCD.（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为 45，求PC与AD所成角的大小.答案：（1）3233；（2）arctan52.分析：（1）由V13PES正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE平面ABCD，知PFE45，进而有PEFE4，PB25，由ADBC，知PCB或其补角即为所求，可证BC平面PAB，从而有BCPB，最后在RtPBC中，由tanPCB，得解.解：（1）PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB4，PE23，又PE平面ABCD，四棱锥PABCD的体积V13PES正方形ABCD1323423233.（2）PE平面ABCD，PFE为PF与平面ABCD所成角为 45，即PFE45，PEF为等腰直角三角形，E，F分别为AB，CD的中点，PEFE4，=2+2=25，ADBC，PCB或其补角即为PC与AD所成角，PE平面ABCD，PEBC，又BCAB，PEABE，PE、AB 平面PAB，BC平面PAB，BCPB，在RtPBC中，tanPCB25452，故PC与AD所成角的大小为arctan52.小提示：关键点点睛：此题考查棱锥体积的求法，考查异面直线所成的角，考查计算能力和空间想象能力，解题的关键是由PF与平面ABCD所成角为 45，可得PEF为等腰直角三角形，从而可求出的长，进而在RtPBC中，由tanPCB可求得结果，属于中档题 20、如图，已知点在平面外，、分别是、的中点求证：平面平面 答案：证明见解析 分析：根据中位线得到线线平行，再结合线面平行和面面平行的判定定理即可证明.、分别是、的中点，,又 平面，平面，平面，平面 平面，平面，=，平面平面