2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总 单选题 1、设()=1,0的解集是（）A(1,1)B(,1)(1,+)C(0,1)D(,0)(1,+)答案：D 分析：作出函数=2和=+1的图象，观察图象可得结果.因为()=2 1，所以()0等价于2 +1，在同一直角坐标系中作出=2和=+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2 +1的解为 1.所以不等式()0的解集为：(,0)(1,+).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.3、已知f(x)=2 2,5(+3),5，则f(4)+f(-4)=（）A63B83C86D91 答案：C 分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.依题意，当x5 时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x5 时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，所以f(4)+f(-4)=86.故选：C 4、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为=若采摘后 10 天，这种水果失去的新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%那么采摘下来的这种水果多长时间后失去 40%新鲜度（）A25 天 B30 天 C35 天 D40 天 答案：B 分析：根据给定条件求出及10的值，再利用给定公式计算失去 40%新鲜度对应的时间作答.依题意，10%=1020%=20，解得=120,10=2，当=40%时，40%=120，即40%=120 10 10，解得10=4=(10)2=20，于是得 10=20，解得=30，所以采摘下来的这种水果 30 天后失去 40%新鲜度.故选：B 5、用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.1 的正实数零点的近似值为（）A0.9B0.7C0.5D0.4 答案：B 分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有 0.7(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|0.1，所以所求的符合条件的近似值为 0.7.故选：B 6、我国在 2020 年 9 月 22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于 2030 年前实现碳达峰，争取在 2060 年前实现碳中和为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(120,500)之间的函数关系可近似表示为=133 802+5040,120,144)122 200+80000,144,500，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）A120B200C240D400 答案：D 分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分 120,144)和 144,500分析讨论求出其最小值即可 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为=132 80+5040,120,144)12 200+80000,144,500，当 120,144)时，=132 80+5040=13(120)2+240，当=120时，取得最小值 240，当 144,500 时，=12+80000 200 212 80000 200=200，当且仅当12=80000，即=400时取等号，此时取得最小值 200，综上，当每月得理量为 400 吨时，每吨的平均处理成本最低为 200 元，故选：D 7、已知实数,(1,+)，且log2+log3=log2+log2，则（）A B C D 答案：B 分析：对log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，结合=1的单调性判断 ，同理利用换底公式得log2 1log2 log3，再根据对数运算性质得log2 log2，结合=log2单调性，继而得解.由log2+log3=log2+log2，变形可知log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，由函数()=1在(0,+)上单调递增知，log2 log2，即 log3，得log2+log3 log3+log2，即log2 log2 log3 log3，同样利用()=1的单调性知，log2 log3，又因为log3=log3 log2，得log2 log2，即 ，所以 212，1+=(1+1)(1+2)1+1+1+22，2 12，综上2 1+2，2 12 故选：D 10、已知函数()=2,02+2,0 若关于x的方程()=12+恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A0,34B(0,34)C0,916D(0,916)答案：D 分析：根据题意，作出函数()=2,0,2+2,0 与=12+的图像，然后通过数形结合求出答案.函数()=2,0,2+2,0 的图像如下图所示：若关于x的方程()=12+恰有三个不相等的实数解，则函数()的图像与直线=12+有三个交点，若直线=12+经过原点时，m0，若直线=12+与函数()=12+的图像相切，令2+2=12+232+=0，令=944=0 =916.故 (0,916).故选：D 11、将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，每涨价 1 元，销售量就减少 20 个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（）A90 100B90 110C100 110D80 0，求的取值范围，即可得到的取值范围.设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，则=+90,=(10+)(400 20)10 400=202+200.要使商家利润有所增加，则必须使 0，即2 10 0，得0 10,90 +90 100，所以的取值为90 100.故选：A 12、一种药在病人血液中的量不少于1500才有效，而低于500病人就有危险现给某病人注射了这种药2500，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg2 0.3010，lg3 0.4771，结果精确到0.1）A2.3小时 B3.5小时 C5.6小时 D8.8小时 答案：A 分析：根据已知关系式可得不等式500 2500 (1 20%)1500，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则500 2500 (1 20%)1500，整理可得：0.2 0.8 0.6，log0.80.6 log0.80.2，log0.80.6=lg0.6lg0.8=lg61lg81=lg2+lg313lg21 2.3，log0.80.2=lg0.2lg0.8=lg213lg21 7.2，2.3 7.2，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.双空题 13、在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始微积分的建立称为 17 世纪数学的三大成就.已知log3=lg=15，则实数x，y的大小关系为_，log9=_.答案：10 分析：结合对数的运算关系即可化简得到x，y的大小关系和log9的值.因为log3=lglg3=lg，所以lg=lg lg3 lg，所以 ，又因为log3=15，所以=315，所以log9=log(3)159=5log39=10，所以答案是：1,log 13,0 1,若对任意的1,2(0,+)且1 2，都有(12)(1)(2)1log 13,0 1 的定义域为(0,+)，若对任意的1,2(0,+)且1 2，都有(1 2)(1)(2)0，则函数()在(0,+)上为减函数，则必有2 1 00 12 1 13，解可得0 13，即a的取值范围为(0,13 所以答案是：13；(0,13 15、某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了在理想情况下，对折次数与纸的长边(cm)和厚度(cm)有关系：23log2现有一张长边为 30cm，厚度为 0.05cm 的矩形纸，根据以上信息，当对折完 4 次时，的最小值为_；该矩形纸最多能对折_次（参考数值：lg2 0.3，lg3 0.48）答案：64 6 分析：利用23log2 4即可求解，利用 23log2300.05和换底公式进行求解.令=4，则23log2 4，则log2 6，即 64，即当对折完 4 次时，的最小值为64；由题意，得=30，=0.05，则 23log2300.05=23log2600=23lg600lg2=23lg2+lg3+2lg2230.3+0.48+20.3=6.17，所以该矩形纸最多能对折 6 次.所以答案是：64，6.16、若函数()=ln(+11)+是奇函数，则=_，=_.答案：1 0 分析：根据奇函数在=0处有定义则(0)=0可得，再根据奇函数的满足()+()=0求解即可 因为函数()=ln(+11)+是奇函数，故(0)=0，即ln1+=0，即=0.又()+()=0，故ln(+11)+ln(+11+)=0，即(+11)(+11+)=1，12212=1恒成立，故2=1，所以=1或=1，当=1时()=ln(+11)=ln(1)无意义.当=1时()=ln(+11)满足奇函数.故=1 综上，=1，=0 所以答案是：1；0 17、设=log23,=log92，则4=_，=_ 答案：9 12 分析：直接由对数转化为指数可得第一个空，由换底公式计算第二个空即可.由=log23，得2=3，所以4=32=9；=log23 log92=log33log32log32log39=12.所以答案是：9；12.解答题 18、某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验已知小白鼠服用 1 粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为=28(0 6)12 (6 12)当每毫升血液含药量不低于 4 微克时，该药能起到有效抗病毒的效果(1)若小白鼠服用 1 粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用 1 粒药，6 小时后再服用 1 粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？答案：(1)163小时(2)263小时 分析：（1）根据 4，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于 4，分段求解即可.（1）设服用 1 粒药，经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于 4 微克，可得0 628 4，解得163 6，所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于 4 微克；若0 6，药物浓度28 4，解得163 6，若6 12，药物浓度(12 )+2(6)8(6)4，化简得2 20+100 0，所以6 12；若12 18，药物浓度12 (6)4，解得 14，所以12 14；综上 163,14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时 19、对于函数()，若其定义域内存在实数满足()=()，则称()为“伪奇函数”（1）已知函数()=2+1，试问()是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数()=(1)3()使得()=2()+为定义在1,1上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得()=4 2+1+2 3是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（1）不是；（2）54,1；（3）1 3,22 分析：（1）先假设()为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出()的解析式，然后将问题转化为“2=(2+2)在1,1上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；（3）将问题转化为“22 6=(4+4)+2(2+2)在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.（1）假设()为“伪奇函数”，存在满足()=()，2+1=2+1有解，化为2+2=0，无解，()不是“伪奇函数”；（2）()=(1)3()为幂函数，=2，()=，()=2+，()=2+为定义在1,1的“伪奇函数”，2+=2 在1,1上有解，2=(2+2)在1,1上有解，令2=12,2，2=(+1)在 12,2上有解，又对勾函数=+1在12,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，且=12时，=52，=2时，=52，min=1+1=2,max=52，=+1的值域为2,52，2 52,2，54,1；（3）设存在满足，即()=()在上有解，4 2+1+2 3=(4 2+1+2 3)在上有解，22 6=(4+4)+2(2+2)在上有解，令2+2=2,+)，取等号时=0，22 6=(2 2)+2在2,+)上有解，2 2+22 8=0在2,+)上有解（*），=42 4(22 8)0，解得 22,22，记()=2 2+22 8，且对称轴=，当 22,2时，()在2,+)上递增，若（*）有解，则(2)=22 2+22 8 0，1 3,2，当 (2,22时，()在2,)上递减，在(,+)上递增，若（*）有解，则()=2 22+22 8=2 8 0，即2 8 0，此式恒成立，(2,22，综上可知，1 3,22.小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.20、近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万元，每生产千部手机，需另投入成本()万元，且()=102+100,0 40701+10000 9450,40，由市场调研知，每部手机的售价为 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求 2020 年的利润()（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020 年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.答案：(1)()=102+600 250，0 40(+10000)+9200，40；(2)2020 年产量为 100 千部时，企业所获得利润最大，最大利润为 9000 万元.分析：（1）根据 2020 年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润()关于的解析式；（2）根据（1）求出利润()的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.（1）解：由题意可知，2020 年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当0 40时，()=0.7 1000 (102+100)250=102+600 250 当 40时，()=0.7 1000 (701+10000 9450)250=(+10000)+9200，所以()=102+600 250，0 40(+10000)+9200，40.（2）当0 40时，()=102+600 250=10(30)2+8750，此时函数()开口向上的抛物线，且对称轴为=30，所以当=30时，()max=(30)=8750（万元）；当 40时，()=(+10000)+9200，因为+10000 2 10000=200，当且仅当=10000即=100时，等号成立，即当=100时，()max=(100)=200+9200=9000（万元），综上可得，当=100时，()取得最大值为9000（万元），即 2020 年产量为 100 千部时，企业获利最大，最大利润为 9000 万元.