全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结全面整理.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结全面整理全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结全面整理 单选题 1、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A11B12C21D23 答案：A 分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是 2r，圆柱的侧面积=2 2=42，球的表面积为42，其比例为 1:1，故选：A.2、下列说法中正确的是（）A如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B平面内 的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 C/，/，则/D/，/，则/答案：D 分析：根据线面关系，逐一判断每个选项即可.解：对于 A 选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；对于 B 选项，如图1，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，到平面的距离相等，但 所在平面与相交，故错误；对于选项 C，可能在平面内，故错误；对于选项 D，正确.故选：D.3、在下列判断两个平面与平行的 4 个命题中，真命题的个数是（）、都垂直于平面r，那么 、都平行于平面r，那么 、都垂直于直线l，那么 如果l、m是两条异面直线，且 ，那么 A0B1C2D3 答案：D 分析：在正方体中观察可判断；由平面平行的传递性可判断；由线面垂直的性质可判断；根据面面平行判定定理可判断.如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故错误；由平面平行的传递性可知正确；由线面垂直的性质可知正确；过直线l做平面与、分别交于1,2，过直线m做平面与、分别交于1,2，因为 ，所以 1,2，所以1 2 因为1，2，所以1 同理，1 又l、m是两条异面直线，所以1,2相交，且1，1 所以 ，故正确.故选：D 4、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.5、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.6、已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为（）A6B12C24D48 答案：D 分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则其斜高=52(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积=124 6 4=48 故选：D 7、在空间中，下列命题是真命题的是（）A经过三个点有且只有一个平面 B平行于同一平面的两直线相互平行 C如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 答案：D 分析：由三点共线判断 A；由线面、线线位置关系判断 B；根据等角定理判断 C；由线面平行和垂直的判定以及性质判断 D.当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故 A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故 B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故 C 错误；如果两个相交平面,垂直于同一个平面，且 =，则在平面、内分别存在直线,垂直于平面，由线面垂直的性质可知/，再由线面平行的判定定理得/，由线面平行的性质得出/，则 ，故 D正确；故选：D 8、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（）A8(6+62+3)B6(8+82+3)C8(6+63+2)D6(8+83+2)答案：A 解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 =6 (2+22)2 4 12 2 2+8 12 2 3=8(6+62+3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.9、如图已知正方体 1111，M，N分别是1，1的中点，则（）A直线1与直线1垂直，直线/平面 B直线1与直线1平行，直线 平面11 C直线1与直线1相交，直线/平面 D直线1与直线1异面，直线 平面11 答案：A 分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证/,1 平面1，即可得出结论.连1，在正方体 1111中，M是1的中点，所以为1中点，又N是1的中点，所以/，平面,平面，所以/平面.因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面11，所以选项 B,D 不正确；在正方体 1111中，1 1，平面11，所以 1，1 =，所以1 平面1，1 平面1，所以1 1，且直线1,1是异面直线，所以选项 C 错误，选项 A 正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.10、下列命题中 空间中三个点可以确定一个平面.直线和直线外的一点，可以确定一个平面.如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 分析：根据空间位置关系可直接判断各命题.命题：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题错误；命题：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题错误；命题：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题错误；故选：A.11、如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：平面；平面；平面；平面；平面.其中不正确的是（）ABCD 答案：D 解析：根据平面的表示方法判断 中不为对角线，故错误；中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.12、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，=2，=1，点P在线段EF上.给出下列命题：存在点P，使得直线/平面ACF；存在点P，使得直线 平面ACF；直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是55,1；三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面面积是98.其中所有真命题的序号（）ABCD 答案：D 分析：当点P是线段EF中点时判断；假定存在点P，使得直线 平面ACF，推理导出矛盾 判断；利用线面角的定义转化列式计算判断；求出 外接圆面积判断作答.取EF中点G，连DG，令 =，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则/且=，即四边形DGFO是平行四边形，即有/，而 平面ACF，平面ACF，于是得/平面ACF，当点P与G重合时，直线/平面ACF，正确；假定存在点P，使得直线 平面ACF，而 平面ACF，则 ，又/，从而有 ，在Rt 中，=90，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即不正确；因平面 平面，平面 平面=，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，=，sin=sin=12+2=11+2，而0 2，则55 sin 0)，则=，从而=cos60=2，=12=4，如图，当且仅当 ，即是圆的切线时，角有最大值，tan有最大值，tan取得最大值为：=22=4(+4)2(4)2=612 所以答案是：612.14、所有棱长均为 2 的正三棱锥的体积为_.答案：232#223 分析：棱长均为 2 的正三棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案.当三棱锥棱长均为 2 时，正三棱锥即为正四面体，如图，正四面体的底面积=34 22=3，正四面体的高=2 2=22(2332 2)2=263，故正四面体的体积=13 =223.所以答案是：223 15、早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等如图，正二十面体是由 20 个等边三角形组成的正多面体，共有 12 个顶点，30 条棱，20 个面，是五个柏拉图多面体之一如果把sin36按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于_ 答案：55336 分析：可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得=56，=31111，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，则2=sin36=35，得=56，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是=2 2=2(56)2=116，所以2=2+()2，即2=(56)2+(116)2，解得=31111 所以该正二十面体的外接球表面积为球=42=4 (31111)2=36112，而该正二十面体的表面积是正二十面体=20 12 sin60=532，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336 所以答案是：55336.小提示：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.16、在锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若 =2cos，则的取值范围是_ 答案：(33,22)分析：由正弦定理边角关系、和差角正弦公式可得sin=sin()，结合 为锐角三角形，可得2=及角 A 的范围，进而应用正弦定理边角关系即可求的范围.由题设，sin sin=2sincos，而=(+)，所以sin=cossin sincos=sin()，又0 ,2，所以2=，且 为锐角三角形，则0 2 20 3 2，可得6 4，而=sinsin=12cos(33,22).所以答案是：(33,22)小提示：关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A、C的关系及A的范围，最后由边角关系求范围.17、如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形_（填上所有正确答案的序号）答案：分析：四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据 图：证明ABEF，CDEF，可得ABCD；图：证明BDEF，ACEF，可得BDAC；图：证明GHEF，ACEF，BDGH，可得BDAC 图：取GD的中点F，连结BF、EF，B、F均为相应边的中点，则：又 ，则 即ABFE为平行四边形 ABEF 同理:CDEF 则ABCD即A、B、C、D四点共面，图正确；图：显然AB与CD异面，图不正确；图：连结AC,BD,EF,BEDF即BDFE为平行四边形 BDEF 又A、C分别为相应边的中点，则ACEF BDAC即A、B、C、D四点共面，图正确；图：连结AC,BD,EF,GH,GEHF即GEFH为平行四边形，则GHEF 又A、C分别为相应边的中点，则ACEF 同理：BDGH BDAC即A、B、C、D四点共面，图正确 所以答案是：解答题 18、如图，在直三棱柱 111中，侧棱1=1，=23，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN (1)证明：/平面11；(2)若BA=BC=2，求二面角 11 的平面角的大小 答案：(1)证明见解析(2)3 分析：（1）取1的中点P可得四边形B1MNP是平行四边形，再由线面平行的判断定理可得平面11；（2）做 ，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AB1C1、平面11的法向量由二面角的向量求法可答案.（1）如图，取1的中点P，连接1，N为AC的中点，1，且=121 又 11,1=121，1,=1，四边形B1MNP是平行四边形，1 又1 平面11，MN平面11，平面11（2）如图，做 ，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，1为z轴，建立空间直角坐标系，直三棱柱 111的底面ABC的边长BA=BC=2，侧棱1=1,=23，(3,1,0),(0,0,0),(0,2,0),1(0,0,1),1(0,2,1)，1=(3,1,1),11=(0,2,0)设平面AB1C1的法向量为 =(,)因为1 11 ，3+=02=0，所以令x=1，则=3，=(1,0,3)平面11的一个法向量为 =(1,0,0)，cos=|=121=12，由图知二面角 11 的平面角为锐角，二面角 11 的平面角的大小为3 19、在空间四边形中，=，与直线,都平行的平面分别交,于点E，F，G，H(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求四边形的周长 答案：(1)证明见解析(2)2 分析：（1）由线面平行的性质定理证明（2）由平行关系得线段比例式后求解（1）证明：因为直线/平面,平面，平面 平面=，所以 同理得 ，所以 同理得 ，所以四边形是平行四边形，（2）由（1）可知=,=，两式相加得+=，所以四边形的周长为2 20、已知一长方体的底面是边长为 3cm 的正方形，高为 4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观图 答案：作图见解析.分析：根据斜二测法的作图步骤即可得到此长方体的直观图.1.画轴：画出轴，轴，轴，三轴相交于点，使得=45,=90；2.画底面：以点为中点，在轴上画=3cm，在轴上画=32cm，分别过点,作轴的平行线，过点,作轴的平行线，设它们的交点分别为,，则四边形即为该四棱柱的底面；3.画侧棱：过点,分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段,，如图（1）所示；4.成图：连接,，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图（2）所示.图（1）图（2）