广东省中山市名校2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以做一个圆 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三边的距离相等
2．如图所示，中，，，点为中点，将绕点旋转，为中点，则线段的最小值为(　　)

A． B． C． D．
3．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )

A． B． C． D．
5．某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）=200 B．2x+2（x﹣12）=200
C．x（x+12）=200 D．2x+2（x+12）=200
6．如图,AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点, ，弧AD=弧CD．则∠DAC等于（ ）

A． B． C． D．
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（　　）

A．70° B．75° C．60° D．65°
8．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为( )

A．90 B．94 C．98 D．102
9．若2y－7x＝0，则x∶y等于（ ）
A．2∶7 B．4∶7 C．7∶2 D．7∶4
10．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．

12．如图，将正方形绕点逆时针旋转至正方形，边交于点，若正方形的边长为，则的长为________．

13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，若二次函数的图象过两点，且该函数图象的顶点为，其中，是整数，且，，则的值为__________．

14．如图，是⊙的一条弦，⊥于点，交⊙于点，连接. 如果，，那么⊙的半径为_________．

15．如图，在中若，，则__________，__________．

16．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于点A、B．若∠1＝69°，则∠2的度数为_____．

17．如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形ABCDEF的半径是2cm,则这个正六边形的周长是___．

18．在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA=________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为响应市政府关于“垃圾不落地市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A：非常了解；B：比较了解；C：了解较少；D：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题；
求______，并补全条形统计图；
若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；
已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．

20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若，AE＝1，求劣弧BD的长．
21．（6分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别
家庭藏书m本
学生人数
A
0≤m≤25
20
B
26≤m≤50
a
C
51≤m≤75
50
D
m≥76
66
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为　 　，a＝　 　；
（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是　 　；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．

22．（8分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
(1)第一季度平均每月的增长率；
(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
23．（8分）如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为1．

（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．
24．（8分）用一根长12的铁丝能否围成面积是7的矩形？请通过计算说明理由.
25．（10分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求下列事件的概率．
（1）两次都摸到红球；
（2）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．
26．（10分）如图，在中，是内心，是边上一点，以点为圆心，为半径的经过点.

求证：是的切线；
已知的半径是.
①若是的中点，，则 ；
②若，求的长.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可．
【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A错误；
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，B错误；
C、等弧所对的圆心角相等，C正确；
D、三角形的外心到各顶点的距离相等，D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的推论和三角形外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．
2、B
【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．
【详解】如图，连接CN．

在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2 ，BC＝AC＝3，
∵CM＝MB＝BC＝，
∵A1N＝NB1，
∴CN＝A1B1＝，
∵MN≥CN−CM，
∴MN≥，即MN≥，
∴MN的最小值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3、B
【分析】根据平均年增长率即可解题.
【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x，依题意得：

故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键.
4、C
【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为
故选C
5、C
【解析】解：∵宽为x，长为x+12，∴x（x+12）=1．故选C．
6、C
【分析】利用圆周角定理得到，则，再根据圆内接四边形的对角互补得到，又根据弧AD=弧CD得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得出的度数．
【详解】∵AB为⊙O的直径

∵弧AD=弧CD

故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，利用圆内接四边形的性质求出的度数是解题关键．
7、B
【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°，OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
【详解】由题意得：∠AOD=30°，OA=OD，∴∠A=∠ADO75°．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
8、C
【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有 个五角星，当n=7代入计算即可．
【详解】解：第①个图形一共有个五角星；第②个图形一共有 个五角星；第③个图形一共有个五角星；……第n个图形一共有 个五角星，所以第⑦个图形一共有 个五角星．
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查规律探索，解题的关键是找准规律．
9、A
【分析】由2y－7x＝0可得2y＝7x，再根据等式的基本性质求解即可.
【详解】解：∵2y－7x＝0
∴2y＝7x
∴x∶y＝2∶7
故选A.
【点睛】
比例的性质，根据等式的基本性质2进行计算即可，是基础题，比较简单．
10、C
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
12、
【分析】连接AE，由旋转性质知AD＝AB′＝3、∠BAB′＝30°、∠B′AD＝60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE＝∠B′AD＝30°，由DE＝ADtan∠DAE可得答案．
【详解】解：如图，连接AE，
∵将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD＝AB′＝3，∠BAB′＝30°，∠DAB＝90°
∴∠B′AD＝60°，
在Rt△ADE和Rt△AB′E中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE＝∠B′AD＝30°，
∴DE＝ADtan∠DAE＝3×＝，
故答案为．

【点睛】
此题主要考查全等、旋转、三角函数的应用，解题的关键是熟知旋转的性质及全等三角形的判定定理．
13、，
【分析】先将A，B两点的坐标代入，消去c可得出b=1-7a，c=10a，得出xM=-=，yM=.方法一：分以下两种情况：①a＞0，画出示意图，可得出yM=0,1或2，进而求出a的值；②a＜0时，根据示意图可得，yM=5，6或7，进而求出a的值；方法二：根据题意可知或7①，或7②，由①求出a的值，代入②中验证取舍从而可得出a的值．
【详解】解：将A，B两点的坐标代入得，
，
②-①得，3=21a+3b，
∴b=1-7a，c=10a．
∴原解析式可以化为：y=ax2+(1-7a)x+10a．
∴xM=-=，yM=,
方法一：
①当a＞0时，开口向上，∵二次函数经过A,B两点，且顶点中，x，y均为整数，且，，画出示意图如图①，可得0≤yM≤2，

∴yM=0,1或2，
当yM=0时，解得a=,不满足xM为整数的条件，舍去；
当yM=1时，解得a=1(a=不符合条件，舍去)；
当yM=2时，解得a=,符合条件．
②a＜0时，开口向下，画出示意图如图②，根据题中条件可得，5≤yM≤7，
只有当yM=5，a=-时，当yM=6，a=-1时符合条件．
综上所述，a的值为，．
方法二：
根据题意可得或7；或7③，
∴当时，解得a=，不符合③，舍去；
当时，解得a=，不符合③，舍去；
当时，解得a=，符合③中条件；
当时，解得a=1，符合③中条件；
当时，解得a=-1，符合③中条件；
当时，解得a=-，符合③中条件；
当时，解得a=-，不符合③舍去；
当时，解得a=-，不符合③舍去；
综上可知a的值为：，．
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查二次函数的解析式、顶点坐标以及函数图像的整数点问题，掌握基本概念与性质是解题的关键．
14、5
【分析】由垂径定理可知，在中利用勾股定理即可求出半径.
【详解】设⊙的半径为r
∵是⊙的一条弦，⊥，
∴
在中
∵
∴
∴
故答案为5
【点睛】
本题主要考查勾股定理及垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理的内容是解题的关键.
15、40° 100°
【分析】根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40°，100°．
【点睛】
本题考查等边对等角及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16、111°
【分析】根据平行线的性质求出∠3＝∠1＝69°，即可求出答案．
【详解】解：∵直线l1∥l2，∠1＝69°，
∴∠3＝∠1＝69°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝111°，
故答案为111°．

【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等．
17、12
【分析】确定正六边形的中心O，连接EO、FO，易证正六变形的边长等于其半径，可得正六边形的周长.
【详解】解：如图，确定正六边形的中心O，连接EO、FO.

由正六边形可得
是等边三角形

所以正六边形的周长为
故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，灵活利用正多边形的性质是解题的关键.
18、
【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
【详解】解：，即，
，
或（舍去），
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角，都有．

三、解答题(共66分)
19、（1）20（2）500（3）
【解析】先利用A选项的人数和它所占百分比计算出调查的总人数为50，再计算出B选项所占的百分比为，从而得到，即，然后计算出C、D选项的人数，最后补全条形统计图；用1000乘以可估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生数；画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】调查的总人数为，
B选项所占的百分比为，
所以，即，
C选项的人数为人，
D选项的人数为人，
条形统计图为：

故答案为20；
，
所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；
故答案为500；
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，
所以恰好抽到1男1女的概率
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图．
20、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：连接OD．

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE＝DE：BE，
∴，
解得：BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝4，
∴⊙O的半径为2，
∵，
∴∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的长．
【点睛】
此题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是解题关键．
21、（1）200，64；（2）0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【分析】（1）根据类别C的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用样本容量减去A,C,D所对应的人数即可求出a的值；
（2）用类别A所对应的人数除以样本容量即可求出抽到A类学生的概率；
（3）用2000乘以藏书不少于76本的概率即可得出答案.
【详解】（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），
a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），
故答案为200，64；
（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，
故答案为 0.1；
（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．
答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，用样本估计总体等，能够对统计表和扇形统计图结合是解题的关键.
22、（1）20%（2）能
【解析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：
500（1+x）2=720
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2=1036.8（t）．
∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
23、（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，点P坐标为或；（3）点N的坐标为（﹣4，1）
【分析】（1）分别令y＝0 ,x＝0,可表示出A、B、C的坐标，从而表示△ABC的面积，求出a的值继而即可得二次函数解析式；
（2）如图①，当点P在x轴上方抛物线上时，平移BC所在的直线过点O交x轴上方抛物线于点P，则有BC∥OP，此时∠POB＝∠CBO，联立抛物线得解析式和OP所在直线的解析式解方程组即可求解；当点P在x轴下方时，取BC的中点D，易知D点坐标为（，），连接OD并延长交x轴下方的抛物线于点P，由直角三角形斜边中线定理可知，OD＝BD，∠DOB＝∠CBO即∠POB＝∠CBO，联立抛物线的解析式和OP所在直线的解析式解方程组即可求解．
（3）如图②，通过点M到x轴的距离可表示△ABM的面积，由S△ABM＝S△BNM，可证明点A、点N到直线BM的距离相等,即AN∥BM，通过角的转化得到AM＝BN，设点N的坐标，表示出BN的距离可求出点N．
【详解】（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，
解得x1＝1，x2＝a，
当x＝0，y＝a
∴点C坐标为（0，a），
∵C（0，a）在x轴下方
∴a＜0
∵点A位于点B的左侧，
∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），
∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，
∵△ABC的面积为1，
∴，
∴a1＝﹣3，a2＝4（因为a＜0，故舍去），
∴a＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，
∴k＝3；
①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，
则，
∴，，
∴点P坐标为；
②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，
则
∴，，
∴点P坐标为，
综上可得，点P坐标为或；
（3）如图，过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴S△AMB＝
∵S△MNB＝2d，
∴S△AMB＝S△MNB，
∴，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，
∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB和△NBM中
∴△AMB≌△NBM（SAS），
∴∠ABM＝∠NMB，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
又∵AN∥BM，
∴∠ABM＝∠OAC＝45°，
∴∠NMB＝45°，
∴∠ABM+∠NMB＝90°，
∴∠BHM＝90°，
∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，
∵M是抛物线上一点，
∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∴1﹣t＝t2+2t﹣3，
∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），
∴点N的横坐标为﹣4，
可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N的坐标为（﹣4，1）．

【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，还涉及到全等三角形的判定及其性质、三角形面积公式等知识点，综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
24、用一根长12的铁丝能围成面积是7的矩形，理由见解析
【分析】设这根铁丝围成的矩形的一边长为，然后根据矩形的面积公式列出方程，并解方程即可．
【详解】解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为．
根据题意，得
解这个方程，得，
当时，；当时，
答：用一根长12铁丝能围成面积是7的矩形．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用矩形的面积公式列方程是解决此题的关键．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到红球的情况数，即可确定出所求的概率；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【详解】（1）列表如下：

红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
所有等可能的情况有4种，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率=；
（2）由（1）得第一次摸到红球，第二次摸到绿球只有一种，
故其概率为．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
26、（1）详见解析；（2）①；②
【分析】(1)延长交于，连接.得出，再利用角之间的关系可得出，即，结论即可得证.
(2)①利用勾股定理即可求解
②由知，，根据对应线段成比例，可得出AB，AD的值，从而可求出AI的长.
【详解】解：(1)证明：延长交于，连接.

是的内心，
平分平分.
.
.
又，
.
.
.
.
为的切线.
①∵
∴.
②解：由知，
.

.
∴ .
【点睛】
本题考查的知识点有圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用数形结合的方法可以更好的理解题目，有助于找出解题的方向.