全等三角形经典题目.doc

1、【截长补短】如图，∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，求证：BC=BE+CD．

【分析】在BC上找到F使得BF=BE，易证∠BOE=∠COD=60°，即可证明△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解题．
【解答】证明：在BC上找到F使得BF=BE，

∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
在△BOE和△BOF中，
，
∴△BOE≌△BOF，（SAS）
∴∠BOF=∠BOE=60°，
∴∠COF=∠BOC﹣∠BOF=60°，
在△OCF和△OCD中，
，
∴△OCF≌△OCD（ASA），
∴CF=CD，
∵BC=BF+CF，
∴BC=BE+CD．
2、【加倍中线】如图，△ABC中，D为BC的中点．
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

【分析】（1）再延长AD至E，使DE=AD，构造△ADC≌△EDB，再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD；
（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5﹣3＜2AD＜5+3，再计算即可．
【解答】（1）证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD，
∵D为BC的中点，
∴DB=CD，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC，
在△ABE中，∵AB+BE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；

（2）∵AB=5，AC=3，
∴5﹣3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4．

3、【关系指的是数量关系与位置关系】如图所示，在△ABC中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．试判断EC与BF的关系，并说明理由．

【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论．
【解答】解：EC=BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAE．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF．∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM=90°，
∴∠EMB=90°，
∴EC⊥BF．

4、已知，如图一，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：
（1）DE=BD+CE．
（2）如图二，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，我们能猜想得到什么结论？（请直接写出结论）

【分析】（1）只要证明△ACE≌△BAD（AAS），得到BD=AE，CE=AD，即可推出DE=AE+AD=BD+CE．
（2）在图2的情况下：DE=CE﹣BD．证明方法类似．
【解答】解：（1）在图1的情况下：DE=BD+CE
证明：∵∠DAB+∠EAC=90，∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EAC=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=AE+AD=BD+CE．

（2）在图2的情况下：DE=CE﹣BD．
理由：：∵∠DAB+∠EAC=90，∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EAC=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=AD﹣AE=CE﹣BD．

5、【同角的余角相等】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．
（1）求证：BD=BC；
（2）若BD=6cm，求AC的长．

【分析】（1）欲证明BD=BC，只要证明△ABC≌△EDB即可．
（2）由E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，推出BE=BC=BD=3cm，由△ABC≌△EDB，得到AC=BE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB，
∴BD=BC．

（2）解：∵E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，
∴BE=BC=BD=3cm，
∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3cm．

6、【同角的余角相等】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB=DF．

【分析】根据余角的性质得到∠A=∠BDE，根据全等三角形的判定定理得到△ABC≌△BDF，由全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵∠ACB=∠FBD=∠90°，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠BDE=90°，
∴∠A=∠BDE．
在△ABC与△BDF中，
，
∴△ABC≌△BDF，
∴AB=DF．
7、【动点问题】如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．
【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；
①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．