椭圆综合题中定值定点、范围问题总结1.doc

椭 圆
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n
的区别）
2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5.根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）

②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”
>0；
③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；
④“共线问题”
（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的
合理选择）；
6.化简与计算；
7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无
关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求
出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、 求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、
三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等
式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。
（1）直线恒过定点问题
1、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为， 直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。
1、解：直线的方程为，即
设关于直线的对称点的坐标为
则，解得
直线的斜率为
从而直线的方程为：
即
从而直线恒过定点

2、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭[来源:学科网] 圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；
2、解：（1）设椭圆方程为，由题意可得
，所以椭圆的方程为
则，设
则
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
点在曲线上，则
从而，得，则点的坐标为。
（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为，则PB的直线方程为：
由 得
设则
同理可得，则

所以直线AB的斜率为定值。

3、已知动直线与椭圆相交于两点,已知点 ， 求证：为定值.[

3、 解: 将代入中得
，
，
所以

。

4、 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不 过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为， 射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，求证：直线过定点；

椭圆中的取值范围问题

一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
5、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B， 且，求的取值范围．

（2） 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.
6、已知点，，若动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求 直线的斜率的取值范围.[来源:学科网]
6、解：（Ⅰ）设动点，则，，.
由已知得，
化简得，得.
所以点的轨迹是椭圆，的方程为.
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，
不妨设过的直线的方程为，
设，两点的坐标分别为，.
由消去得.
因为在椭圆内，所以.
所以
因为

，
所以. 解得.

(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点为椭圆：上的一动点，点的坐标为，求 的取值范围．

8.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距 离为3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的 取值范围.

9. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上， 点在上，且满足的轨迹为曲线.
（I）求曲线的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两[来源:学科网ZXXK]
点（点在点之间），且满足，
求的取值范围.

解：（Ⅰ）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设

，

又当直线GH斜率不存在，方程为

10、.已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，一个顶点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围.

11.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满 足（O为坐标原点），当＜ 时，求实数取值范围．

椭圆中的最值问题
一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值，
12、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值。
（2）利用函数求最值，
13.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。 （I）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点的切线交曲线 C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。

14、已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点.
将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.

选做
1、已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为
，BC过椭圆m的中心，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y
轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围．

2.已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在 上，点在上，且满足＝2，·＝．
（1）若，求点的轨迹的方程；
（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数， 使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

3、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M
（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
参考答案
1、解：直线的方程为，即
设关于直线的对称点的坐标为
则，解得
直线的斜率为
从而直线的方程为：
即
从而直线恒过定点
2、解：（1）设椭圆方程为，由题意可得
，所以椭圆的方程为
则，设
则
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
点在曲线上，则
从而，得，则点的坐标为。
（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为，则PB的直线方程为：
由 得
设则
同理可得，则

所以直线AB的斜率为定值。
3、 解: 将代入中得
，
，
所以

。
4、 解：（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,

设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: [来源:学科网]
=,即,,
所以中点E的坐标为,
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以，即， 解得，
所以=,当且仅当时取等号, 即的最小值为2.
（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,
所以由得交点G的纵坐标为,
又因为,,且∙，所以,
又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,
即有, 令得,y=0,与实数k无关,
5、 解：（1）当直线斜率不存在时：
（2）当直线斜率存在时：设与椭圆C交点为
得
（*）

∵，∴，
∴. 消去，得，

整理得
时，上式不成立； 时，，
∴，∴或
把代入（*）得或
∴或
综上m的取值范围为或。
6、解：（Ⅰ）设动点，则，，.
由已知得，
化简得，得.
所以点的轨迹是椭圆，的方程为.
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，
不妨设过的直线的方程为，
设，两点的坐标分别为，.
由消去得.
因为在椭圆内，所以.
所以
因为

，
所以. 解得.
7、 解： ，设Q（x，y），，
．
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]． [来源:学*科*网]
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．
8、解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点
由题设，解得，
故所求椭圆的方程为
（2）设、、，
为弦的中点，由
得
直线与椭圆相交，
①
，从而，
，又
则：，即，②
把②代入①得，解，
由②得，解得.
综上求得的取值范围是.
9、解：（Ⅰ）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设

，

又当直线GH斜率不存在，方程为

10、解：（1）由题意可得，，，∴．
∴所求的椭圆的标准方程为：．
（2）设，则 ． ①
且，，
由可得，即
∴． ②
由①、②消去整理得
． ∵
∴．
∵， ∴ ．

∴的取值范围为.
11、 解：（Ⅰ）由题意知， 所以．
即． 又因为，所以，．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
，.
，.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∵，∴，，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴.
∵＜，∴，∴
∴，
∴，∴.
∴，∵，∴，
∴或，
∴实数取值范围为.
12、解、设椭圆方程为，由题意可得
，
故椭圆方程为
设AB的直线方程：.
由，得，
由，得
P到AB的距离为，
则
。[来源:Zxxk.Com]
当且仅当取等号， ∴三角形PAB面积的最大值为。[来源: 13、 解:设点的坐标为，点的坐标为，
则，，所以，， ①
因为在圆上，所以 ②
将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．
（Ⅱ）由题意知，．
当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为
此时，当时，同理可得；
当时，设切线的方程为
由得③
设A、B两点的坐标分别为，则由③得：
．
又由l与圆相切，得即
所以
因为且当时，
|AB|=2，所以|AB|的最大值为2[来源:学.科.网Z.X.X.K]
依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，
所以面积，
当且仅当时，面积S的最大值为1，
相应的的坐标为或者．
14、 解：由题意知，.
当时，切线的方程为，点A,B的坐标分别为，
此时；
当时，同理可得；
当时，设切线的方程为.
由得.
设A,B两点的坐标分别为.
又由与圆相切，得，即.
所以
.
由于当时，，
，
当且当时，.所以|AB|的最大值为2.
选做
1、 解（1）椭圆m：
（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）[来源:Z+xx+k.Com]
1°当k=0时，显然－2<t<2
2°当k≠0时，设
消y得

由△>0 可得 ①
设
则
∴
由
∴ ②
∴t>1 将①代入②得 1<t<4
∴t的范围是（1，4）
综上t∈（－2，4）
2、解：（1）∴点为的中点，
又，或点与点重合．∴
又
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，∴的轨迹方程是
(2)解：不存在这样一组正实数，
下面证明：
由题意，若存在这样的一组正实数，
当直线的斜率存在时，设之为，
故直线的方程为：，设，中点，
则，两式相减得：
．
注意到，且 ，则 ， ②
又点在直线上，，代入②式得：．
因为弦的中点在⑴所给椭圆内，
故， 这与矛盾，所以所求这组正实数不存在．
当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，
则此时，代入①式得，
这与是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在．
3、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为． [来源:学科网ZXXK]
（Ⅱ）设，，
联立， 得，

又，
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，
，即，
，
，
．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
解得：
，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
4、解：（1）设椭圆方程为
则
∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距m, 又KOM=

由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
由

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

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