直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点.doc

一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）
位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α=A
a||α

图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）

直线与平面平行的判断

判　定
文字描述
直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）
平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

图形

条件

a与α无交点

结论
a∥α
b∥α
线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）

※判定定理的证明

知识点二、直线与平面平行的性质

性质

文字描述
一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．

图形

条件
a∥α
a∥αa⊂βα∩β＝b
结论
a∩α＝∅
a∥b
线面平行，则线线平行

特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

知识点三、平面与平面平行的判定

判定
文字描述
如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形

条件
α∩β＝∅
a， b⊂β
a∩b＝P
a∥α
b∥α
l⊥α
l⊥β
结论
α∥β
α∥β
α∥β

知识点四、平面与平面平行的性质

性质
文字描述
如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
图形

条件
α∥β
β∩γ＝b
α∩γ＝a
α∥β
a⊂β

结论
a∥b
a∥α

二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义
判定
语言描述
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.
图形

条件
b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥α
⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì
结论
⊥
⊥
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）

知识点二、直线和平面垂直的性质

性质
语言描述
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形

条件

结论

知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）
二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上
ⅱ. 线在面内
ⅲ. 与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

定义
判定
文字描述
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形

结果
α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）

知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直 线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）

例题
1.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台

2能保证直线a与平面α平行的条件是（　A　　 ）
A.aα,bα,a∥b　　　　　　B .bα,a∥b
C. bα,c∥α,a∥b,a∥c
D. bα,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD

3下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,bα，那么b∥α

4在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．m∥β，n∥βa∥β
B．a∥β，m∥n
C．m⊥a,m⊥nn∥a
D．n∥m,n⊥am⊥a
6.下列命题中错误的是
（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定直线平行于平面
（B）如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
（C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面
（D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点
求证：EF‖平面BCD
8题图 9题图

9.如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60 ， ,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
课堂练习
A组

3.m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.

4.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
（1） 证明：直线EE//平面FCC；

5. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.

6. 在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’ ．
（1）要经过平面 内的一点P 和棱BC将木料据开，应怎样画线？
（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？