理论力学课后题答案.doc

1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t，而通过下一等距离s的时间为.试证明枪弹的减速度（假定是常数）为
由题可知示意图如题1.1.1图: 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为.则有: 由以上两式得 再由此式得
1.26一弹性绳上端固定，下端悬有及两质点。设为绳的固有长度，为加后的伸长，为加后的伸长。今将任其脱离而下坠，试证质点在任一瞬时离上端的距离为
解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.

题1.26.1图
设绳的弹性系数为,则有 ① 当 脱离下坠前，与系统平衡.当脱离下坠前，在拉力作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 ②
联立①② 得 ③
齐次方程通解 非齐次方程③的特解
所以③的通解
代入初始条件：时，得；故有 即为在任一时刻离上端的距离.

1.39 一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。 证 质点受一与距离次方成反比的力的作用。 设此力为① 又因为 即 ②
当质点从无穷远处到达时，对②式两边分别积分：
当质点从静止出发到达时，对②式两边分别积分：得 所以质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。

1.43如质点受有心力作用而作双纽线...证 由毕耐公式
质点所受有心力做双纽线运动 故

故

1.44点所受的有心力如果为
式中及都是常数，并且＜，则其轨道方程可写成
试证明之。式中（为积分常数）
证 由毕耐公式 将力带入此式 因为 所以 即令
上式化为 这是一个二阶常系数废气次方程。
解之得 微积分常数，取，故 有
令 所以

3.10解 如题3.10.1图。一均质圆盘，半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为。已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？
解：轴过点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿的方向有 即 ① 为转盘绕轴的转动惯量：（为盘的质量）， ② （为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）
=③ 由①②③得 又因为 故 所以 得

3.11通风机的转动部分以初角速绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为。如转动部分对其轴的转动惯量为，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一半？又在此时间内共转了多少转？
解： 如题3.11.1图所示，设轴通过点垂直纸面指向外。则对轴有：设通风机转动的角速度大小为，由于通风机顺时针转动。所以，将代入上式得： 。又由于，解得：
故当时，㏑。又由于 （为通风机转动的角度） 设， 故当㏑时，，时间内通风机转动的转数

3.12解 如题3.12.1图，矩形均质薄片，边长为与，重为，绕竖直轴以初角速转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？
解：坐标与薄片固连，则沿轴方向有： 且①
现取如图阴影部分的小区域，该区域受到的阻力
对轴的力矩 所以 ②
又薄片对轴的转动惯量 ③ 由①②③得： 当时，
3.15解 如题3.15.1图所示坐标系。一轮的半径为，以匀速无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？
解：由于球作无滑滚动，球与地面的接触的速度与地面一致，等于零，所以点为转动瞬心。以为基点。设球的角速度，则

设轮缘上任意一点，与轴交角为，则故
当时，得最高点的速度当和时分别得到最高点和最低点的加速度

3.19长为2的均质棒，以铰链悬挂于点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降距离后，棒一共转了几转？
解 ：固定坐标系。杆从水平位置摆到竖直位置过程中只有重力做功，故机械能守恒。设此时的角速度为，则
右边第一项为质心运动动能，第二项为杆绕质心转动的动能。解上式得
在杆脱离悬点后，根据动量定理和动量矩定理：①②③③式中为杆绕质心的转动惯量，为沿过质心平行于轴的合力矩，易知，又，代入③式得 即杆将作匀速转动。解①②得 所以质心的轨迹为一抛物线。
故当时，杆的质心下降，代入④式得 故时间内杆的转数
3.20质量为半径为的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。
解：设圆柱体的转动角速度为，设它受到地面的摩擦力为，由动量定理和动量矩定理知：① ②对于滑块。由动量定理知：③ ④ 以为基点： 假设绳不可拉伸。则。故⑤ 由①②③④⑤解得：
3.22一飞轮有一半径为的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为。在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为的重物。如飞轮受到阻尼力矩的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过角后，绳子与杆轴脱离，并再转过角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。
解： 轴与速度方向一致，轴垂直纸面向外。设球的半径为，则球绕任一直径的转动惯量。由动量定理和动量矩定理可知：①② ③ ④
由①②③④得：
设球与板的接触点为，则时刻点的速度为⑤ ⑥ 球由滑动变为滚动的条件是： ⑦ 由⑤⑥⑦解得：

3.23重为的木板受水平力的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系数为。在板上放一重为的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度。 解：设圆柱的半径为，与木板之间的摩擦力为，弹力为，木板受地面的摩擦力为，弹力为，对木板由动量定理得：
①② 对圆柱，由角动量定理和动量定理得：③ ④⑤ 其中为圆柱绕中心轴的转动惯量，所以⑥ ⑦
无滑滚动的条件： ⑧ 由①～⑧式解得

5.13.1 半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为 .
解 杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：
即 mgy =0①
变换方程y=2rcossin-= rsin2②
故③ 代回①式即
因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0 ④ 又由于 cos= 故 cos2= 代回④式得

5.2解 相同的两个均质光滑球悬在结于定点的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角及角之间的关系。

解：三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。

得
由虚功原理 故
①
因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须
故② 又由 得：
③ 由②③可得
4.10 质量为的小环，套在半径为的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。
解：平面运动，一个自由度.
选广义坐标为，广义速度
因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程
① 在 广义力 代入①得： ② 在极坐标系下：
③
故 将以上各式代入②式得