第八章第三节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<－2或a>　　　　　B．－<a<0
C．－2<a<0 D．－2<a<
解析：由a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0知－3a2－4a＋4>0即3a2＋4a－4<0
∴－2<a<.
答案：D
2．(2011·深圳调研)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：曲线C的方程可化为：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使得圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到横、纵坐标轴的最短距离为|2a|，|－a|，则有|2a|>2，|－a|>2，故a>2.
答案：D
3．(2011·青岛二中期末)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－3)2＋2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.2＋(y－1)2＝1
解析：依题意设圆心C(a,1)(a>0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
4．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A．(－∞，] B．(0，)
C．(－，0) D．(－∞，)
解析：由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤()2＝.
答案：A
5．圆心在抛物线y2＝2x(y>0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0
C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0
解析：抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)联立可得圆心的坐标为(，1)，半径为1，则方程为(x－)2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0.
答案：D
6．(2010·西安模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：将圆的方程化成标准形式得(x－3)2＋(y－4)2＝25，所以圆心为P(3,4)，半径r＝5.而|MP|＝＝1<5，所以点M(3,5)在圆内，故当过点M的弦经过圆心时最长，此时|AC|＝2r＝10，当弦BD与MP垂直时，弦BD的长度最小，此时|BD|＝2＝2＝4.又因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|×|BD|＝×10×4＝20.
答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．
解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.
答案：y2＋4x－4y＋8＝0
8．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是__________．
解析：根据|AB|＝，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为(1，)，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x－1)2＋(y－)2＝1
9．若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．
解析：方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0
化为标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝1－
∵r2＝1－≤1，∴k＝0时r最大．
此时圆心为(0，－1)．
答案：(0，－1)
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知直线l1：4x＋y＝0，直线l2：x＋y－1＝0以及l2上一点P(3，－2)．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．
解：设圆心为C(a，b)，半径为r，依题意，得b＝－4a.
又PC⊥l2，直线l2的斜率k2＝－1，
∴过P，C两点的直线的斜率kPC＝＝1，
解得a＝1，b＝－4，r＝|PC|＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
11.如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连结BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．
由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式：

则代入x2＋y2＝1，整理得
所求轨迹方程为(x＋)2＋y2＝(y≠0)．
12．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根据题意，得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.