等差数列求和问题设计.docx

等差数列求和问题
汾阳中学 赵国鲜
一.内容与内容解析
等差数列的求和问题包括等差数列的求和公式、与等差数列求和公式有关的一些性质。
数列是函数，由于定义域的特殊性，所以在研究等差数列求和问题时，数列的离散性和函数的性质总是在不断地重复使用。由等差数列的定义、通项公式推出的数列的性质在求和问题中灵活使用，会使解决问题的思路更明确，方法更简单。
二.教学问题诊断
在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对习题课的认识比较片面，对习题课缺乏新鲜感。
在教学中，可以从简单的问题（或者教材中的问题）出发，通过问题的提出、问题的拓展措施，使学生对等差数列的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性；在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。
为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思.
三.目标与目标解析：
1.进一步理解等差数列的性质，关注数列的函数特征；
2.进一步体会“函数和方程”思想，会从函数的角度和方程思想解决问题，并会进行合理的选择；
3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成等差数列的方法体系和数学思想，形成处理等差数列求和问题的基本策略,养成质疑和创新的意识.
本节专题课的学习，对于巩固数列知识，整体把握等差数列的定义、通项、求和起着很大的作用，解决问题后需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能;会通过反思与交流，感悟并提炼重要的数学思想。
四.教学支持条件分析
学生对于等差数列公式熟悉，但是数列的性质不是很熟悉，综合使用能力差，所以使用多媒体给同学们总结知识，增大课堂容量。
五.教学过程设计
（一）知识归纳
1.等差数列的定义
2.等差数列通项公式
3.等差数列的性质
4.等差数列的求和公式
5.与等差数列的求和有关性质
设计意图：通过多媒体展示内容要点，让学生很快回忆已学知识，对于本节课的求和的问题的顺利思考分析和解决起到促进作用。
(二)典例分析
数列中的求和问题是一类常见的问题，如何根据所给数列的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.
例1. 等差数列中，a 1 < 0，S 9 = S 11，该数列前多少项的和最小？
分析一：由已知得公差d>0,因此等差数列前n项和的图像是过原点开口向下的抛物线，
故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值），
由于S 9 = S 11，其对称轴为，
于是，当n取与最接近的整数即10或11时，取最小值。
分析二：由于S 9 = S 11，所以a10+a11+a12=0，
利用等差数列的性质2 a11= a10 +a12，所以a11=0，
因为a 1 < 0，所以数列的前10项和或者前11项和最小。
反思：通过例1，你能总结解决此类问题的解题策略吗？体现了什么数学思想？你能对每一种策略，总结出明确的操作步骤吗？
设计意图：让学生回归二次函数，用函数的思想方法求得最小值；利用数列的性质，通过数列是特殊函数求得最小值。
例2.已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和
分析一:方程思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.设的首项为,公差,
则
分析二:运用前n项和变式: 为等差数列,故可设,
则

分析三：
反思：通过例2，你能解决此类问题的解题策略吗？体现了数学的什么思想，使用了哪些数学解题方法？
设计意图：让学生理解等差数列的性质，利用数学的待定系数法先设出变量，写出方程，会使用方程思想解决问题是本题的关键方法。
例3.在等差数列{a n}中，，
（1）求该数列的通项公式；（2）求其前n项和S n的最大值；（3）求。
分析：（1），所以；
（2），所以前10项的和最大；
（3）因为，
①当n ≤ 10时，；
②当n > 10时，

反思：通过上述例题你能总结出求绝对值和的一般方法吗？本题如果数列的通项公式an=2n-21，求绝对值的前n项和的一般方法是什么？
设计意图：本题抓住数列的性质，从整体上求出和，体现了数学的整体思想方法。
例4.设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，
求a11b11
分析一：
则
分析二：设Sn=kn7n-1 ，T=kn4n+27
a11=S11-S10=k×11×7×11+1-k×10×7×10+1=858k-710k=148k
b11=T11-T10=k×11×4×11+27-k×10×4×10+27=781k-670k=111k

所以

反思：这个例题的解题策略是什么？有什么的思想方法？
设计意图：利用等差数列的性质求等差数列和，可以不要计算基本量，达到整体计算。关于分析二主要考查学生对于等差数列的前n项和的性质。这个知识点是易错点，我们要关注等差数列的求和公式的特征。
（三）反思小结
本节课的学习，你有什么收获？
（1）你认为解决有关等差数列有哪些策略？
（2）每种策略如何操作？
（3）这些思想体现了怎样的数学思想？
（4）还有其他收获或感想吗？
设计意图: 解题后，在教师的引导下学生的自主反思，才能使学生的解题技能提升为策略，并内化成自身的能力.
（四）目标检测
1. 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。
2. 若数列成等差数列，且，求．
3.数列的前n项和(1) 是什么数列? (2)设的前n项和.

设计意图：设计3个问题是让学生有机会重新审视做过数学问题的特征，完成过程也是学生对问题及问题解决本质理解的进一步内化的过程.
六． 反思