第八章第六节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C. D.
解析：由题意知，＝4，则双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：A
2．(2010·深圳一模)若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
解析：∵m>n>0，
∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
答案：A
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24  D．48
解析：由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以三角形PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
答案：C
4．(2010·日照一模)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由题意，得：
解得，a2＝3，b2＝6，
故所求双曲线的方程为－＝1.
答案：C
5．(2010·宝鸡模拟)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)
A．4 B．7
C．6 D．5
解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，又＝
，∴c＝5，a＝4，b＝3，得a＋b＝7.
答案：B
6．设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
解析：设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
得F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，
根据双曲线定义4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，
即3b2－4ab＝0，
即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即y＝±x，即4x±3y＝0.
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为______________．

解析：椭圆①，②的b值相同，椭圆①的a值小于椭圆②的a值，由e＝＝可得e1<e2<1.
同理可得1<e4<e3，故e1<e2<e4<e3.
答案：e1<e2<e4<e3
8．(2010·湖南十二校)已知点F、A分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为________．
解析：因为·＝0，所以⊥，所以FB⊥AB，所以∠ABF＝90°，即AB2＋BF2＝AF2，所以a2＋b2＋b2＋c2＝(a＋c)2，解得双曲线的离心率为e＝.
答案：
9．(2010·北京西城)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2.
答案：－2
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2面积．
解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2
＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得<k<1.
∴当<k<1时，l与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2
＝.
∴AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵<k<1，∴－2<1－3k2<0.∴m<－2.
∴m的取值范围为(－∞，－2)．
12．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
，
∴k2≠且k2<1，①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得<k2<3，②
由①②得<k2<1，
故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．