解直角三角形的知识点总结.doc

解直角三角形

在中考试卷中，对于锐角三角形的概念，直角三角形中的边角关系，简单的解直角三角形等知识点的考查多以填空题和和选择题的形式出现，而运用解直角三角的知识解决实际问题，则成为近年来中考的热点。
解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系，同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想。解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角三角形问题。
本知识点复习备考时应注意以下几点：
1、 熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活应用特殊三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，能根据实际情况构造、构造出直角三角形解决问题。
2、 解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三角形问题求解。

知识点总结
一、锐角三角函数
（一）、基础知识
1．锐角三角函数定义
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：
(1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即
sin A = ,
（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即
cos A = ,
（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即
tan A = ，
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：
（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1；
4、互为余角的两个三角函数关系
若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.
5、特殊角的三角函数：

00
300
450
600
sinα
0

cosα
1

tanα
0

1

二、 勾股定理
1、 勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
2、 勾股定理的数学表达;若三角形ABC为直角三角形，∠A，∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=∠90，则,反之，已知a,b,c为三角形ABC的边。若,则三角形ABC为直角三角形。

典型例题：

1. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦 （　　）

（A） 都扩大2倍 （B） 都扩大4倍
（C） 没有变化 （D） 都缩小一半

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A． B. C. D.
3.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．

4.在RtABC中，C=90º，A=15º，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：MB等于（ ）
（A）2： （B）：2 （C）：1 （D）1：

5.等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为 （　　）
（A） 600　 （B） 900　　（C） 1200　（D） 1500\

6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( )
同学
甲
乙
丙
放出风筝线长
100m
100m
90m
线与地面夹角
40º
45º
60º
A、甲的最高 B、丙的最高 C、 乙的最低 D、丙的最低

7..如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　　　）
６０Ｏ
ＡＡ
ＢＡ
ＭＡ
东
Ａ．　　　　Ｂ．
Ｃ．　　　 Ｄ．

8、河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米

9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
 A．12秒．  B．16秒．  C．20秒．  D．24秒．

10、=

11、 在△ABC中，∠A=30º，tan B= ，BC=，则AB的长为 .

12、锐角A满足2 sin(A-15)=,则∠A= .

13、已知tan B=，则sin= .

14、 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为 .

15、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．
A
B
C
D
αA

16.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．

17.△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段AD的长．

D
C
B
A
②

①
（第16题图）
16.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据）．

17. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.

18.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长．

A
B
C
D

第18题

19、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．
A
C
D
B
E
F

G

20、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．

21、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）