第三单元《分数除法》教材分析.doc

本单元在分数的意义和分数乘法的基础上编排，重点教学分数除法的知识。包括分数除法的计算法则；已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题；“比”的意义、性质，按比例分配等内容。本单元一共编排11道例题，具体安排见下表：
例1分数除以整数
例2、例3整数除以分数
例4分数除以分数
例5已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题
例6分数连除、分数乘除混合运算
例7、例8比的意义、比和除法的关系
例9比的基本性质
例10化简比
例11按比例分配的实际问题
单元整理与练习
在本单元之前，学生已经学会了分数加、减法和乘法的计算，他们继续学习分数除法，就掌握了分数的四则计算。分数除法的计算法则历来是教学的难点，并不是学生不会按照法则进行计算，而是法则的得出很不容易。改进除法法则的教学方法，使形成法则的过程符合小学生的认知特点，充分发挥他们的积极性与能动性，是本单元教材的一个亮点。从表格里可以看到，除法计算法则的教学安排很细致，先是分数除以整数，再是整数除以分数，然后是分数除以分数，逐步形成包摄性很强的法则。分数除法一般转化成分数乘法计算，转化的方法是乘除数的倒数，例1到例4都教学这样的转化。前两道例题在操作中开展形象思维，体会转化是合理的；后两道例题通过猜想与验证，理解转化是必然的。这样的编排循序渐进，使法则的教学不是学生被动接受，而是主动建构的过程；不仅是形成知识技能，还是发展数学思考、培养解决问题策略的载体。
在分数除法里教学比的知识，是本单元教材的又一个亮点。小学数学把两个数的比看作这两个数相除。显然，在教学除法时可以安排比的教学。比与除法有关，除法与分数有关，那么比与分数应该也有联系。数学教学专家认为，分数和比的融合能够加强对分数的认识，从分数联想它能反映的比，丰富了分数的含义，扩展了解决分数问题的思路和途径。比的基本性质和分数基本性质很相似，利用分数性质可以约分或通分，利用比的性质可以化简比，其中的内在联系以及技能的相互对应，能够优化学生的认知结构，提高他们学习能力。
改进传统分数除法应用题的教学，也是本单元教材的亮点。联系分数乘法的意义，分析“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题的数量关系，很容易列方程解答。这就不再把分数乘法问题与分数除法问题作为两类完全不同的问题去识别，而是突出它们最本质的数量关系，作为同一数量关系的两种不同情况，分别列算式和列方程解答。这也就充分利用了数学的基础知识与基本方法，能够有效减轻学生的学习负担。
（一） 教学分数除以整数和整数除以分数，鼓励学生在图画上平均分，从操作中感悟算法
分数除以整数、整数除以分数，是分数除法中比较简单的两种情况。教材希望学生初步体会，分数除法可以通过被除数乘除数的倒数进行计算。为了有利于学生获得这种体会，例1到例3都选择可以操作的素材。
例1用图画呈现4/5升果汁，让学生在图上把它平均分成2份，并算出结果。一部分学生在操作中看到4/5平均分成2份，每份是2/5，列出算式4/5÷2＝2/5。“蘑菇”卡通的思考代表了这部分学生的想法，它的“把4个1/5平均分成2份”清楚地解释了4/5÷2的意思。另一部分学生在直观情境的支持下，得出把4/5平均分成2份，每份是4/5的1/2。“辣椒”卡通把这样的思考用式子的变换表示出来，就是4/5÷2＝4/5×1/2。显然，前一种算法与分数除法的计算法则有距离，后一种算法才是分数除法的一般算法。教学例1，要在学生独立探索的前提下，突出“辣椒”的算法。这是他们第一次感悟分数除法与分数乘法的联系，对本单元教学分数除法计算有定向作用。
接着例1的“试一试”计算4/5÷3。从表面上看，似乎只是把除数“2”变成“3”，其实它的计算里有很丰富的教学内容。如果采用上面提到的“蘑菇”卡通的算法，由于商的分子不是整数，无论是表示还是化简都很麻烦。如果采用4/5×1/3这种方法，能够很快得到结果。挖掘“试一试”的教学内容，要注意三点：一是让学生经历选择算法的过程，在具体的计算实践中体会例1的两种算法，只有一种适用“试一试”的题。二是让学生完成教材安排的填空，再次经历分数除以整数转化成分数乘分数的过程，并作出对转化的解释，更清楚地懂得把4/5平均分成3份，就是求4/5的1/3。三是让学生说说分数除以整数可以怎样计算，以进一步加强转化意识与方法。
“练一练”的三道题是有层次的。第1题继续体会分数除以整数可以转化成分数乘法的合理性。教材用画图的方法把6/7平均分成3份，表示1份是多少。要让学生体会这个平均分既是把6/7÷3，也是求6/7的1/3是多少。第2题练习分数除以整数向分数乘法的转化，聚焦在乘除数的倒数上。第3题是分数除以整数的计算，帮助学生巩固知识、掌握方法，初步形成技能。
例2教学整数除以分数。这里的除数都是1/2、1/3、1/4等分子都是1的分数。选择这样的除数，是为了便于通过操作解决问题，感受整数除以分数的计算方法。
这道例题的教学大致分三步进行：第一步是列出整数除以分数的算式。分数除法的意义和整数除法相同。例题创设把4个橙子平均分的问题情境，从整数除法的数量关系带出整数除以分数的算式。问题（1）每人分2个橙子，可以分给几人，列出除法算式是4÷2，数量关系是“橙子的总数÷每人分的个数＝可以分给的人数”。问题（2）（3）依次为每人分1/2个、1/3个、1/4个，求可以分给几人的数量关系与4÷2相同，可以通过类比推理列出算式4÷1/2、4÷1/3、4÷1/4，呈现了例题要教学的计算内容。第二步是看图计算4÷1/2，初步感悟算法。由于每人分1/2个，因此教材把4个橙子按1/2个、1/2个……地画，一共画了8个1/2。一部分学生会像“番茄”卡通那样，从图画里看到可以分给8人，于是写出除法算式的商，即4÷1/2＝8（人）。另一部分学生会像“萝卜”卡通那样，从1个橙子分给2人，得出4个橙子可以分给4×2＝8（人）。教学不能因得到问题的答案而停止，而要继续研究4÷1/2的算法。由于4÷1/2和4×2都是求4个橙子可以分给几人，得数都是8，所以它们能组成等式4÷1/2＝4×2。教材要求学生想一想“1/2和2有什么关系”，引导他们观察等式，研究等式从左边到右边的变化，初步发现整数除以分数可以变成这个整数乘分数的倒数。得到等式并看到变化是这一步教学的主要任务，一定要让学生明白等式是怎样得到的，以及等式所蕴含的数学内容。第三步通过画图操作，计算4÷1/3和4÷1/4。这一步以4÷1/2的画图经验为基础，要求学生独立进行。在计算4÷1/3时，把代表1个橙子的圆三等分，表示每人吃1/3个。从图上可以看出1个橙子给3个人吃，4个橙子给4×3＝1/2（人）吃。据此写成等式：4÷1/3＝4×（3）。用同样的操作和思考，还能写出等式：4÷1/4＝4×（4）。寻找整数除以分数的算法是例题的教学任务。教材要求学生看着上面写出的几个等式，思考“括号里的数与除数有什么关系”，引导他们继续关注分数除法改写成分数乘法的要领。
（二） 继续教学整数除以分数和分数除以分数，鼓励学生猜想、验证，确认算法
例3仍然是整数除以分数。不过它的除数不是几分之一那样的分数，而是几分之几的分数。如果说例2是整数除以分数的特殊情况，那么例3涉及整数除以分数的一般情况了。例4是分数除以分数。它的计算方法能够统摄前面教学的分数除以整数和整数除以分数，因而更加具有概括性。教材编排例3和例4，目的是要得出分数除法的计算法则。
例3和例4所设计的学习方式与例1和例2不同。例1和例2让学生在平均分物体的活动中感受分数除法可以转化成分数乘法，例3和例4让学生猜想并验证分数除法可以通过分数乘法来计算。例3和例4的编写有以下一些共同的特点：第一，两道例题都有示意图，在图上能够得到实际问题的结果，也就是能够直观看出除法算式的商是多少。例3用一根直条表示4米彩带，其中每1米都平均分成3份，还涂色表示出1个2/3米。学生可以在表示4米的直条上数出一共有6个2/3米，于是得到4÷2/3＝6（段）。例4画出了量杯的示意图。看着杯子上的刻度，能够知道9/10里面有3个3/10，也就是9/10÷3/10＝3。第二，两道例题都要验证分数除法可以转化成分数乘法。学生通过例1和例2的学习，知道分数除以整数以及整数除以几分之一，可以通过相应的分数乘法进行计算。他们遇到整数除以分数和分数除以分数这些新的计算，会很自然地想到也用分数乘法来解决。但是，这种想法是不是正确，还需要验证和确认。例3要求学生想一想：等式4÷2/3＝4×3/2成立吗？其中左边除法式子的商在直条图上已经看到，是6；右边乘法式子的积可以通过计算得到，也是6。这就证明了等式是成立的。教学例4，学生对分数除法转化成分数乘法的心向已经相当强烈，一边在示意图里看出9/10÷3/10的商，一边让他们按照9/10÷3/10＝9/10×（ ）/（ ）这样的线索填一填、算一算，于是得到与示意图相同的结果，从而确认分数除法转化成分数乘法的猜想成立。第三，两道例题都小结算法。例3安排学生比较4÷1/2、4÷1/3、4÷1/4以及4÷2/3这些除法转化成乘法的等式，在小组里交流整数除以分数的计算方法，体会分数除法变成乘法，应该用被除数乘除数的倒数。例4总结算法的视野比较开阔，不只是分数除以分数，还要联系前面学习的分数除以整数、整数除以分数，找到所有分数除法在计算时的共同策略和相同的转化方法。然后用甲数和乙数分别表示被除数和除数，用“等于甲数乘乙数的倒数”准确而简明地表达了分数除法转化成分数乘法的要领，即分数除法的计算法则。
尽管例题大力改变分数除法的教学方法，学生体会和掌握算法还是会有困难的。为此，教材在例4后面的“练一练”里仍然编排两个内容的练习：一个内容是看图并计算，即先在示意图上直观看出3/5里面有几个1/5，有几个3/10，再计算分数除法35÷1/5，3/5÷3/10，又一次体会分数除法可以转化成乘法。另一个内容是分数除法转化成乘法的专项技能，重点放在乘除数的倒数上。
练习七里编排了三个计算的题组。第2题是分数除以整数和分数乘整数的比较，如1/4÷2和1/4×2，3/4÷1/2和3/4×1/2等。学生通过计算可以体会到分数除法应转化成乘法才能得到结果，分数乘法可以直接约分、相乘。第7题是整数除以分数和整数乘分数的比较，如6÷3/4和6×3/4，18÷4/9和18×4/9等，学生通过计算能体会到分数除法和分数乘法的算法不同。第1/2题是分数除以分数的比较。每组两题的被除数与除数刚好调换，如2/3÷4/5和4/5÷2/3，4/3÷5/6和5/6÷4/3等，学生通过计算能加强对“乘除数的倒数”的体验。
第10题的五道分数除法算式，有些题的商比被除数小，有些题的商比被除数大，有些题的商与被除数相等。教材希望学生发现：除数大于1，商小于被除数；除数等于1，商等于被除数；除数小于1，商大于被除数。这些规律与分数乘法里的规律刚好相反。分数乘法中，一个乘数大于1，积大于另一个乘数；一个乘数等于1，积等于另一个乘数；一个乘数小于1，积小于另一个乘数。第11题要求学生应用上述规律，不经过计算，直接判断乘法算式或除法算式的大小。如4/7×1/3○4/7和4/7÷1/3○4/7等。这些判断有助于学生发展数感。
（三） 运用分数乘法的数量关系，解决传统的分数除法实际问题
在教学分数除法的计算法则以后，教材编排例5解答传统的分数除法实际问题。但是，解题方法不是过去的列除法算式，而是通过列方程和解方程得到问题的答案。
列方程解答分数除法问题的最大好处是，不把它与分数乘法问题对立起来。解题所依靠的不是辨类型、识题型，而是基础的数学知识和基本的数学思想。本单元解决传统分数除法问题的思想方法，还会影响以后解决百分数除法问题。
例5的教学重点是为什么用方程解答，以及怎样列出方程。学生体会了列方程解题的原因，就掌握了这类实际问题的结构特点；学会了列方程的方法，就把握了数量关系和解题关键。
分析数量关系是解决实际问题十分重要的一个步骤。无论是分数乘法问题还是除法问题，都要抓住分数的意义进行分析。例题通过“白菜”卡通提出的问题“大瓶和小瓶的果汁量有什么关系”，引导学生仔细体会“小瓶里的果汁是大瓶的2/3”的含义。联系“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”的经验，写出数量关系式。在“大瓶的果汁量×2/3＝小瓶的果汁量”中，小瓶的果汁量已知，求大瓶的果汁量，显然可以列方程解答。理解这段教材，要注意“列方程解答”是分析数量关系的结果，是通过在相等关系上落实已知与未知而作出的决策。教学要细致地展开“分析数量关系——得出相等关系——选择解题方法”的过程，让学生知道应该怎样想，学会这样的思考。
“试一试”和练习八第2题，都要求学生“先把数量关系补充完整，再解答”。在教学列方程解决实际问题的起始阶段，提出这样的要求是很必要的。能进一步突出解决实际问题要分析数量关系，帮助学生掌握分析数量关系的方法，体会列方程解答的实际问题的特点。其实，解决实际问题都要分析数量关系，包括练习八里的其他实际问题。教材希望学生掌握思考的方法与要领之后，自觉地把数量关系式想在头脑里，自主开展分析数量关系的活动。
练习八里还安排了一些对比练习和综合应用。第8、9两题都是分数乘法问题和除法问题的对比题组。“对比”既要比出不同，准确区分它们；也要比出相同，在本质上把它们有机联系起来。分数乘法问题和除法问题，相同在数量关系式上，即都要抓住分数的意义分析数量关系，都能表示成相似的数量关系式，而且同一题组两道题的数量关系式相同。不同表现在数量关系式的已知与所求的数量上，分数乘法问题的已知条件一般都在数量关系式的一边，所求问题在数量关系式的另一边，根据数量关系式能够列出算式。分数除法问题的已知条件不集中在数量关系式的某一边，而是分布在两边，要求的问题也不单独在数量关系式的某一边，所以列方程解答比较方便。第8题有两小题：第（1）题是冬冬家买一袋面粉，重1/5千克。吃了3/5，吃了多少千克？第（2）题是冬冬家买来一袋面粉，吃了3/5，正好是9千克。原来这袋面粉重多少千克？数量关系可以像下面这样分析：
1/5千克 ？千克 ——第（1）题的已知与要求，算式1/5×3/5
一袋面粉的质量×35＝吃了的质量 ——两题共同的数量关系式
？千克 9千克 ——第（2）题的已知与要求，方程3/5x=9
数学教学应该区分不同的问题。但是，过去把分数乘法问题与除法问题对立起来，过分强调区别，往往收不到期望的效果。本单元在数量关系上求同存异，合理组织两类问题的知识结构，用对立统一的观点处理两类问题的关系，已经在教学实践中得到广大教师的认同。练习八第1/3题根据已知的大洋洲面积以及有关的分率，依次算出其他各洲的面积。其中有些应该列算式解答，有些应该列方程解答，综合应用了分数乘法问题和分数除法问题的知识。
（四） 教学乘除混合运算，巩固分数除法法则，培养计算能力
学生初步掌握分数除法计算法则以后，计算分数连除法和分数乘除混合运算，一般要转化成分数连乘法才能进行。转化时，要正确使用分数除法法则；转化后，要灵活使用分数乘法的技巧。教材编排分数乘除混合运算的教学，能够进一步巩固分数除法的计算法则，提高学生进行分数乘除运算的能力。
教材以分数乘除混合运算为例题，把分数连除安排在“试一试”里。这是因为前者转化成分数连乘时，只要把算式的一部分改变成乘法，对概念与技能的要求比后者高。
例6解决分数乘、除两步计算的实际问题，通过解题教学分数乘除混合运算。先分步列式解答这道例题，学生可以列出不同的算式。各种解法都分两步计算，其中一步是分数乘法，另一步是分数除法。分步解答能让学生明白，计算分数除法要“乘除数的倒数”，计算分数乘法不需要这样做。这对计算综合算式，掌握分数乘除混合运算是十分有用的。
列出的两道综合算式，教材已经计算了一道。示范了计算分数乘除混合式题，一般先转化成分数连乘，再约分、相乘。突出了只能把算式里的除法变成“乘除数的倒数”。教材把另一道综合算式留给学生计算，让他们尝试进行分数乘除混合运算。教学应在计算前组织学生想一想，怎样才能把这个算式变成分数连乘算式。计算后还可以比一比，两道综合算式在计算上有什么相同点，进一步明确计算的策略和转化的方法。
学生计算分数乘除混合运算得到的体会和经验，应该迁移到分数连除计算里。为了促进迁移，“试一试”安排学生填空，把分数连除转化成分数连乘。体会这里可以把所有的除法同时转化成乘法，所有的除数都改变成它的倒数。教材在“试一试”之后，要求学生说说“分数连除或分数乘除混合运算可以怎样计算”，目的是加强对分数除法的认识，帮助学生更好地掌握计算法则。
（五） 联系实际事例，通过说、写、认等活动，教学比的意义及相关的知识
数学里的“比”表示两个数或者两个数量的“相除”关系。在分数除法里，适时安排比的教学，能够发展对除法与分数的认识，进一步沟通知识之间的联系，也能为解决按比例分配的问题作知识准备。
用比表示两个具体数量的关系时，一般有两种情况：一种是两个同类数量间的相除关系，另一种是两个不同类数量间的相除关系。教材编排两道例题，分别教学这两种情况，以引导学生逐步感悟比的含义。教学比的意义有大量资源可以利用，如几种物品的份额关系、常见数量关系等。教材联系学生的生活和已有经验，从丰富而有趣的事实里提取有关比的内容，帮助学生逐渐形成比的概念。
例7图文结合，呈现了2杯果汁和3杯牛奶，问学生“可以怎样表示两个数量之间的关系”。这是一个比较开放的问题，学生一般会从两个数量“差”和“倍”的角度上思考。教材只呈现“果汁的杯数相当于牛奶的2/3”和“牛奶的杯数相当于果汁的3/2”，因为这些都是新知识的生长点。其实，也在提醒课堂教学不要滞留于相差关系上。
例题告诉学生，“果汁的杯数相当于牛奶的2/3”还可以说成“果汁与牛奶杯数的比是2比3”，记作2∶3；“牛奶的杯数相当于果汁的3/2”还可以说成“牛奶与果汁杯数的比是3比2”，记作3∶2。这些讲述初步体现出分数与比的关系，让学生感受“分率”还可以表示成“比”。例题联系写出的两个比，讲述了“比号”“比的前项”“比的后项”等知识。学生接受比的读、写方法以及各部分名称并不难。例题的教学重点是两个同类数量比的含义，应该联系“果汁杯数是牛奶的2/3”通过“2÷3”计算，“牛奶杯数是果汁的3/2”通过“3÷2”计算，把比与除法联系起来，以进一步突出两个同类数量相比的含义。
练习九第1题要求看图写出红色方格与白色方格个数的比，写出白色方格与红色方格个数的比，让学生联系写出的两个比，体会甲、乙两个数量相比可以是甲和乙比，也可以是乙和甲比，写比时要看清谁和谁比，谁是前项、谁是后项。
例8给出小军和小伟走900米山路各用的时间，让学生分别计算两人的速度，引起对“路程÷时间＝速度”的回忆。教材告诉学生，也可以用比表示路程和时间的关系，并且写出了“小军走的路程与时间的比是900∶1/5”“小伟走的路程与时间的比是900∶20”，让学生感受两个不同类数量之间的除法关系也可以用比表示。教材不希望学生被动且肤浅地接受例题写出的两个比。教学应该突出路程和时间的比，是根据路程除以时间写出来的，是路程除以时间的意思，比的结果是速度。
在两道例题的感知基础上，“白菜”卡通要求学生思考“例7和例8中，两个数相除的关系可以怎样表示？”通过除法写成比，体验两个数相除与这两个数相比的实质性联系。从而理解比的意义，形成“两个数相除又叫作两个数的比”的概念。
学生理解了比的意义，就会很自然地把比的前项除以后项，接受并理解比值的含义。教材指出比值是比的前项除以后项的商，要求学生说出例7和例8中各个比的比值，不仅内化关于比值的知识，还又一次感受了比的意义。
接着，例8要求学生把3∶5依次改写成除法式子和分数。把比写成除法式子是根据比的意义，把除法式子写成分数是根据分数与除法的关系。写成的连等式里还有比和分数的关系：从形式上看，比和分数可以相互改写；从本质上看，比和分数都有“除”的意味。两个数的比表示两个数相除，分数的分子可以除以分母。为了深化对比、除法、分数三者关系的认识，教材还安排学生整理出“前项”“被除数”“分子”的对应联系，“后项”“除数”“分母”的对应联系，“比值”“商”“分数值”的对应联系。并且从除数和分母不能是0，得出比的后项不能是0。随着这些对应联系的挖掘与整理，学生头脑里比的概念会更加清楚、更加深刻、更加牢固。
既然比和分数有联系，比能改写成分数，因此两个数的比可以写成分数的形式。教材以2∶3为例，指出这个比也可以写成2/3，强调写成的仍然是比，仍然读作2比3。把比写成分数的形式，有利于比和分数的相互转化。在需要时，可以把比看成分数，或者把分数看成比，从而活跃思维，这在后面解决实际问题时会有很好的应用。
“练一练”紧扣比的基础知识而设计。学生解答这些习题一般不会有困难。在写出比和求比值以后，可以让他们说说各个比值的具体含义。如比值10/9表示鸡的只数是鸭的九分之十，比值9/10表示鸭的只数是鸡的十分之九，比值3.5表示笔记本的单价是3.5元。学生作出这些解释时，会主动地体会各个比的意义，加强比的概念。
（六） 把比值相等的比组成等式，发现比的基本性质，并利用性质化简比
例9教学比的基本性质，设计的学习方式和学习活动与教学分数基本性质很相似。这是因为比的性质和分数性质很相似，学生已经理解了比与分数的关系，有认识分数基本性质的经验，完全有能力发现比的基本性质。
教材安排了两条认识比的性质的活动线索。一条是让学生分别求出4∶5、16∶20、50∶50、40∶50四个比的比值，并把比值相等的3个比写成连等式4∶5=16∶20=40∶50，在连等式上看到比的前项与后项变化，而比值不变的现象。另一条是联系分数基本性质，想想比会有什么性质。前一条以归纳推理为主，后一条以类比推理为主。教材把两条线索恰到好处地结合使用，既让学生在实际例子中看到比的性质的现象，又让他们把比的性质纳入自己已有的知识结构里，能够提高新知识的教学效率与效益。教材里写出的比的基本性质，应该是学生的发现、理解与表述。
利用比的基本性质可以化简比，例9为化简比作些准备。通过比较4∶5、16∶20和40∶50，看到4∶5比另两个比简单，它的前项与后项都是整数，而且只有公因数1，不能再化简了。教材让学生认识最简整数比，体会最简整数比的含义，把握住最简整数比的两个基本特点。教材还指出，应用比的基本性质，可以把一些比化成最简单的整数比。学生学习这段内容，会联系最简分数，以及利用分数基本性质约分等知识。这是有益的联想，能使他们进入化简比的最近发展区。
例10教学化简比。三个小题分别化简整数组成的比、分数组成的比和小数组成的比。用虚线框突出化简各个比的关键步骤，并且分别提出“为什么同时除以（或乘）这个数”的问题，引导学生理解化简比的思路与要领。化简前、后项都是整数的比，一般把比的前项与后项同时除以它们的最大公因数，能够较快地得到最简单的整数比。如1/2∶18＝（1/2÷6）∶（18÷6）中的“6”是1/2和18的最大公因数。当然，在化简1/2∶18时，前项与后项先同时除以2，再同时除以3，也是可以的。化简两个分数或者两个小数组成的比，一般先化成整数比，再化成最简单的整数比。如5/6∶3/4＝5/6×12∶3/4×12，这里的“12”是5/6和3/4的公分母，比的前项与后项都乘它们的公分母，是为了把分数比化成整数比。再如1.8∶0.09＝（1.8×100）∶（0.09×100），比的前项与后项都乘100，是为了把小数比化成整数比，而且是着眼于0.09变成整数考虑的。例题写出12∶18化简的结果是2∶3，突出必须是最简单的整数比。而把5/6∶3/4的结果留给学生写，体验“同时乘公分母”才能把分数比化成整数比。让学生接着完成1.8∶0.09的化简，从中理解化成的180∶9不是最简整数比，还要继续化简。
配合例9和例10的“练一练”第1题主要练习比的性质，根据比的前项（或后项）的变化，写出变化以后的后项（或前项）。第2题主要练习化简比，其中1.2/5∶2是小数与整数的比，应提醒学生想一想它该怎样化简。
练习九配合例7～例10的教学。第1～4题着重组成比和求比值，起消化与巩固比的意义的作用。教材启示学生写比的时候必须认准作为前项和后项的各是什么量、各有多少。如第1题的第（2）小题，一个圆里涂了黄色和绿色，要求组成的两个比分别是黄色部分与圆面积的比、绿色部分与圆面积的比。这两个比的前项不同、后项相同，是用圆里的两种不同颜色部分分别与整个圆比。第2题求各种水果的单价，就是分别求每种水果总价与数量的比的比值。可见，教学这些习题，一边要提醒学生仔细理解题意，同时要充分利用题目里可以比较的因素，帮助学生形成正确的数学概念和良好的学习习惯。第3题要求算出三角尺上30°角所对的边和斜边长度的比的比值，每一块三角尺上的这个比的比值都是1/2（0.5），学生会在交流中发现这一个规律。第4题要求在方格纸上画长与宽是2∶1的长方形，长、宽数据由学生自己确定。如果先确定长是几格，那么应算出宽是多少格。如果先确定宽是几格，应算出长是多少格。无论是根据长求宽，还是根据宽求长，都要利用已有的前项与比值求后项，或者利用已有的后项与比值求前项。这道题有助于学生把握比的前项、后项、比值三者之间的关系，也有助于学生加强对比与除法关系的理解。
练习九第5~8题着重练习化简比，第9~1/3题是三道例题知识的综合应用。有些题直接化简已经给出的比，有些题应根据要求先组成比，再化简。在现实的问题情境里写出比并化简比，要体会最简单的整数比的现实应用，感受它能清楚而简便地表示两个数量之间的大小关系。如一个斜面长300厘米，最高点的高度是1/50厘米。1/50∶300和1∶2都是这个斜面最高点高度和斜面长度的比，都表示这个斜面的倾斜程度，显然用1∶2既清楚又简便。
（七） 运用转化策略解答按比例分配的实际问题
按比例分配问题是把一个数量按照一定的比分成若干部分，求各部分分别是多少的问题。让学生解答一些常见的、较简单的按比例分配问题，能使他们在实际应用中加强比的概念。
例11要求把30个方格分别涂红色和黄色，创设了按3∶2分配总格数的问题情境。解答按比例分配问题往往可以采用不同的思路与方法，教材呈现的两种解法是多数学生能够想到的方法，都是从3∶2的具体含义出发，经过推理形成的解题思路。“萝卜”卡通把比看作份数，即方格的总数里3份涂红色、2份涂黄色，所以把30个方格平均分成5份，先算1份是多少格，再算3份和2份各是多少格。“番茄”卡通把比转化成分数，先得出红色方格占方格总数的35、黄色方格占方格总数的2/5，再分别算出两种颜色的方格各有多少个。教学这道例题还要注意五点：一是让学生体会各种思路都是应用转化策略解决问题，各种解法都是根据比的意义想到的。二是让学生在教材的方格图上，适当进行涂颜色活动，感悟解决问题的方法。如果每次涂5个方格，其中3个红色方格、2个黄色方格，需要6次（30÷5＝6）刚好涂完。所以红色方格一共有30÷5×3＝18（格），黄色方格一共有30÷5×2＝1/2（格）。如果把方格图里的3行涂红色、2行涂黄色，就能直观感受红色方格是30格的3/5、黄色方格是30格的2/5，所以两种颜色的方格数可以用分数乘法计算。三是两个卡通的解法似乎完全不同，其实是相通的。30÷5×3相当于求30的35是多少，30÷5×2相当于求30的2/5是多少。反之，求30的3/5(或2/5)是多少，可以理解为把30平均分成5份，求这样的3份（或2份）是多少，即计算30÷5×3（30÷5×2）的得数。四是要鼓励学生像“番茄”卡通那样解决按比例分配问题，达到通过比的学习与应用，加强分数概念的目的。五是只要学生用一种方法求出红色方格和黄色方格的个数，至于用哪一种方法由他们自主选择，但要提醒他们检验结果。检验也有多种方法可以选用，如求得的红色方格个数是不是占方格总数的3/5、黄色方格是不是占方格总数的2/5；又如求得的红色方格个数与黄色方格个数的比是不是3∶2……每一名学生只要用一种方法检验，并在相互交流中体验检验方法的多样性。
“想一想”里出现了1∶2∶3，这是一个连比。对连比不需要作过多的解释，学生会联系两个数的比来体会连比的含义，能说出红色方格占1份、黄色方格占2份、绿色方格占3份，并且联系解答例11的经验，分别算出三种颜色的方格个数。
按比例分配问题的特点是有一个确定的比，总数必须按这个比分成若干部分，而比的呈现形式却是多样的。“试一试”要求把72棵树分给3个小组，没有直接给出分配的比，而是给出各组的人数。要理解“按每组人数分配”的含义，从已知的三个小组人数，先得出分配给三个小组的棵数比，再把72棵树按比例分配。练习十第3题用扇形图给出比，圆里的蓝色部分表示足球比赛已经进行的时间，空白部分表示比赛剩余的时间，可以看出蓝色部分和空白部分的面积比大约是1∶2，由此得到已经用去的时间和剩下时间的比大约是1∶2。第8题配置混凝土所用的水泥、黄沙、石子的份数通过条形图表示。题目首先问“三种材料是按怎样的比配置的”，引导学生观察条形图，从中找到把混凝土质量分配的比。用多种形式表示比，不会给解题增加难度，反而能激发学生解决问题的兴趣，培养收集数学信息的能力。
练习十第4题要求根据一个已知的比，联想有关的分数。不止想出一个，而是要想出两个或几个分数。这道题一方面培养转化能力，锻炼发散思维。另一方面为解答第6、7两题作思路铺垫。第6题已知药粉和水的比是1∶40，由此能够得出药粉的质量是水的1/40，水的质量是药粉的40倍。这两个倍数关系分别可以求400克药粉需加多少克水、400克水中应加多少克药粉。第7题从玫瑰花和月季花棵数比是3∶5，可以想到玫瑰花棵数是月季花的3/5，月季花棵数是玫瑰花的5/3，玫瑰花占两种花总数的3/8，月季花占两种花总数的5/8。利用这些倍数关系能够提出和解决许多问题，包括教材已经提出的两个问题。
（八） 通过整理与练习完善认知结构，提高解决实际问题的能力
本单元是一个较大的单元，教学的新知识多，知识的应用广，安排全单元内容的整理与练习十分必要。
1. 提出三个讨论题，整理基础知识。
第一个问题是“怎样计算分数除法？”似乎这个问题很简单，只要依据分数除法法则来回答就可以了，其实还是有深入展开空间的。首先是分数除法包括整数除以分数、分数除以整数、分数除以分数，包括两个数相除、三个数的连除以及乘除混合运算，所有分数除法都可以“乘除数的倒数”，转化成分数乘法算出结果。其次是整数除以整数、小数除法也可以通过分数除法求出商。如15÷12，把12看成12/1，15÷12=15÷12/1=15×1/12=5/4。又如0.8÷1.2=4/5÷6/5=2/3。列举这些例子，并不是说以后遇到整数除法、小数除法都要化成分数除法来计算，而是让学生体会整数除法、小数除法与分数除法不是决然割裂的，也是有内在联系的。有些时候，利用分数除法来计算整数除法或小数除法，会比较方便。体会到这些联系，有利于学生更好地掌握分数除法的计算。
第二个问题是“举例说明比的意义和比的基本性质，以及比、分数、除法之间的联系和区别。”这是沟通知识之间关系，建立良好认知结构的问题。在新授时曾经讨论过，现在再讨论这些问题，能使学生的概念更加清楚，认知结构更加优化。关于比的意义和基本性质，不是用课本里的定义来回答，而是要求举例说明，联系具体的比来解释比的意义和性质。举例说明比的意义和性质，应该兼顾两个同类数量的比和两个不同类数量的比，突出这些比都表示两个数相除；应该兼顾比的前项、后项同时乘同一个不是0的数和同时除以同一个不是0的数，比值不变。关于比、分数、除法的联系与区别，也要举出具体例子来说明。通过它们的相互改写，体现相互联系，突出它们各自的概念，体现相互区别。
第三个问题是“解决分数、比的实际问题时，应怎样分析数量关系？”到目前为止，解决的分数问题有三种，即：求一个数是另一个数的几分之几；求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。以后教学较复杂的分数问题仍然是这三种，百分数的实际问题还是这三种。所以，现在整理解决分数问题的思想与方法十分重要，既有益于现在，更有助于今后。求一个数是另一个数的几分之几是两个同类数量的“倍比”，和求一个数是另一个数的几倍是相通的，都用除法计算，都必须确定作为单位“1”（或一倍数）的数量，并且把单位“1”（一倍数）的数量作除数。另外两种分数问题虽然各有特点、各有解法，却在分析数量关系上是一致的。它们都已知一个分率，分析这个分率的意义是思考解法的突破口。根据已知分数的意义，能够得到实际问题的数量关系式，利用数量关系式能够确定解题方法。教材希望通过第三个问题的讨论，联系具体例子，让学生再一次体验解决问题的思想方法，既能识别和区分各种不同的问题，又能在较高的认识层面上，把握本质的思考方法。
2. 编排十三道练习题，讲究练习效益和质量。
“练习与应用”里的题目，按培养计算能力、巩固深化概念、灵活解决问题的目标编排。
第1、2两题着重计算。对大多数学生而言，计算比较简单的分数乘、除法，应该直接写出得数；计算稍复杂的分数乘、除法，可以笔数（写出除法转化成乘法、交叉约分等主要步骤）。
第3~6题着重巩固概念。通过写出比，加强对比的意义的理解；通过比与分数、除法的改写，以及利用比的基本性质的改写，进一步体验比与分数、除法的联系；通过化简比和求比值，再一次体验这是两种不同的要求，涉及两个不同的概念，要用两种不同的方法，得到的也是两种不同的结果。
第7~1/3题着重解决实际问题。第8题可以根据“工作总量（一共做的事情）÷工作时间=工作效率（1小时、1分钟所做的事情）”“工作效率×工作时间=工作总量”“工作总量÷工作效率=工作时间”来列式计算。学生在整数、小数范围内曾经多次接触过这些数量关系，那时的工作时间一般都大于1小时、1分钟，工作总量都大于工作效率，所以理解数量关系比较容易。在分数范围内，工作时间会少于1小时、1分钟，如2/3小时；工作总量会小于工作效率，如每小时织毯子2/5米，2/3小时织4/15米。因此，学生在分数范围内理解这些数量关系会有困难。教学应注意到这一点，要帮助他们把曾经认识的数量关系，发展到新的领域。
3. 编排四道题，让学生进行探索与实践。
第1/5题要通过计算几种水果的单价，回答教材提出的问题。小明、小华和小军各用4元买一种水果，小明买的水果重4/5千克，问他买的是什么水果。通常的解法是“总价÷数量=单价”，根据算出的单价，看看小明买的是哪一种水果。这个问题还有其他解法：小明买的水果不满1千克，表明他买的水果单价比4元贵，可能是葡萄或苹果，不可能是梨、西瓜或香蕉。葡萄单价6元，4元能买2/3千克；苹果单价5元，4元能买4/5千克。所以，问题的答案是小明买了苹果。这种解法似乎没有前一种解法“干脆”，却富有探索的意味，发挥了数感对解题的作用。类似地，小明买的水果是小华所买水果的2/5，是小军所买水果的3/5，问小华、小军各买了什么水果。除了“常规”的解法，还有别的方法，而别的方法更具有探索性。教材把这道题编排在“探索与实践”栏目，希望给其他解法一席之地，鼓励学生富有个性地进行思考。
第16题第（1）题要求画面积是24平方厘米，长与宽的比是3∶2的长方形。需要算出长方形的长与宽各是多少厘米。可以采用“枚举”策略，列出面积是24平方厘米的长方形的长和宽的各种可能，看看哪一个是3∶2。第（2）题要求画周长是16厘米，长与宽的比是5∶3的长方形，也需要先算出长方形的长与宽各是多少厘米。可以采用“按比例分配”的方法解决。为什么前一个问题采用“枚举”策略，后一个问题采用“按比例分配”？学生需要给出适当的解释。而这正体现了教材预设的探索空间。
第17题要求分别测量自己的身高、脚长、头长，父亲的身高、脚长、头长，母亲的身高、脚长、头长，算出各人脚长与身高的比、头长与身高的比。如果测量比较准确，三人的脚长与身高的