Lagrange插值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 插值法(,Interpolation Method),1,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：,深度（,M）466 741 950 1422 1634,水温（,o,C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13,根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如,500米，600米，1000米,）处的水温。,这就是本章要讨论的“插值问题”,例,2,当精确函数,y,=,f,(,x,),非常复杂或未知时，在区间,a,b,上一系列节点,x,0,x,m,处测得函数值,y,0,=,f,(,x,0,),y,m,=,f,(,x,m,)，,由此构造一个简单易算的,近似函数,g,(,x,),f,(,x,)，,满足条件,g,(,x,j,),=,f,(,x,j,)(,j,=0,m,)(*),这个问题称为,“插值问题”。,一、插值问题,这里的,g,(,x,),称为,f,(,x,),的,插值函数,。,节点,x,0,x,m,称为插值节点,条件,(*),称为,插值条件,，区间,a,b,称为,插值区间,。,定义,1,3,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,f,(,x,),g,(,x,),4,最常用的插值函数是?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为,代数插值,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,5,一、,插值问题解的存在唯一性？,二、,插值多项式的常用构造方法？,三、,插值函数的误差如何估计？,代数插值,6,二、代数插值问题解的存在惟一性,令,只要证明,p,n,(,x,),的系数,a,0,a,1,a,n,存在唯一即可,给定区间,a,b,上互异的,n,+1,个点 的一组函数,值,f,(,x,j,)，,j,=0,n,求一个,n,次多项式,p,n,(,x,),P,n,使,得,为此由插值条件知,p,n,(,x,),的系数满足下列,n,+1,个代数方程构成的线性方程组,:,7,而,a,i,(,i,=0,1,2,n,),的系数行列式是,Vandermonde,行列式,由于,x,i,互异，所以上式右端不为零，从而方程组的解,a,0,a,1,a,n,存在且唯一。,8,为此我们必须从其它途径来求,p,n,(,x,)：,不通过求解方程组而获得插值多项式。,通过解上述方程组求得插值多项式,p,n,(,x,),的方,法并不可取。这是因为当,n,较大时解方程组的计,算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般,较大（可能,是病态方程组）,当阶数,n,越,高时，,病态越重,。,9,基本思想,：,在,n,次多项式空间,P,n,中找一组合适的基函数,0,(,x,),1,(,x,),3,(,x,),使,不同的基函数的选取导致不同的,插值方法,Lagrange,插值,Newton,插值,三、插值多项式的构造方法,知识点一,10,n,=1,可见,P,1,(,x,),是过(,x,0,y,0,),和(,x,1,y,1,),两点的直线。,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,2 Lagrange,插值,求,n,次多项式 使得,已知,x,0,x,1,;,y,0,y,1,，,求,11,一、构造基函数,与,节点,有关，而与,f,无关,这里每个,l,j,(x),都是,n,次多项式，且容易验证,l,j,(,x,),满足,j,=0,1,，,n,知识点二,12,插值基函数图形,n,=1,n,=2,13,对任意的,L,n,(,x,)P,n,，,都有,L,n,(x)=,c,0,l,0,(,x,)+,c,1,l,1,(,x,)+,c,n,l,n,(,x,),其中,c,0,c,1,c,n,为组合系数,可以证明函数组,l,0,(,x,)，,l,1,(,x,)，,l,n,(,x,),在插值区间,a,b,上线性无关，所以这,n,+1,个函数可作为,P,n,的一组基函数，称为,Lagrange,插值基函数,14,由,Lagrange,插值基函数满足 ，方程组变成,因此得到插值多项式,L,n,(,x,),=f,(,x,0,),l,0,(,x,),+f,(,x,1,),l,1,(,x,),+f,(,x,n,),l,n,(,x,),记为,L,n,(,x,),f,(,x,j,),l,j,(,x,),称,L,n,(,x,),为,n,次,Lagrange,插值多项式,知识点三,15,二、,插值余项,/*,Remainder*/,Rolles Theorem,的推论,:,若 充分光滑，且,存在,使得,定理,1,若,在,a,b,内存在,则在,a,b,上,的,n,+1,个互异的点，对,f,（,x),所作的,n,次,Lagrange,插值多项式,L,n,(,x,),有误差估计,16,由于,R,n,(,x,i,)0，,i,=0,1,，,n,任意固定,x,x,i,(,i,=0,n,),考察,(,t,),有,n,+2,个不同的根,x,0,x,n,x,证明,17,已知,分别利用,sin,x,的1次、2次,Lagrange,插值计算,sin 50,，,并估计误差。,n,=1,分别利用,x,0,x,1,以及,x,1,x,2,计算,利用,例,1,解,18,sin 50,=0.7660444,利用,x,0,x,1,作为插值节点的实际误差,0.01001,利用,计算得：,sin 50,0.76008,利用,x,1,x,2,作为插值节点的实际误差,0.00596,19,n,=2,sin 50,=0.7660444,2次插值的实际误差,0.00061,20,特殊地,:,有,关于,Langrange,插值的几点说明,仅与已知数据 有关，,与 的原来形式无关，但余式与 密切,相关。,(1),即,若 本身是一个不超过,n,次的多项式，则,(2),21,从 角度观察，,内插误差要小些，即,x,位于,x,0,x,1,x,n,之间。,而外插有可能误差变大，因此要慎用。,(3),Langrange,插值也有其不足,为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的,全改变,也就是原来的数据不能利用,浪费,资源；,(4),22,3,逐次线性插值,用拉格朗日插值多项式,L,n,(,x,),计算函数,近似值，如精度不满足要求需增加插值节,点时，原来算出的数据均不能利用，必须,重新计算。为克服这缺点，通常可用逐次,线性插值方法求得高次插值。,23,对已给,sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物线插值计算,sin0.3367,的值并估计截断误差。,取,sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,，用,线性插值,计算：,其截断误差为：,例,2,解,24,取,sin0.34=0.333487,，,sin0.36=0.352274,用,线性插值,计算：,其截断误差为：,25,取,sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,，,sin0.36=0.352274,用,抛物线插值,计算：,其截断误差为：,=0.330374,26,埃特金（,Aitken,）逐次线性插值方法,是三节点抛物线插值计算的，它,也可由,和 按类似线性插,值的方法计算，即,27,一般情况，两个,k,次插值多项式可通过线性,插值得到,(,k,+1),次插值多项式,是关于节点,x,0,x,1,x,k,的插值多项式,首先,:,为,k,+1,次插值多项式。,其次：对,i,=0,1,k,1,，有,当,x,=,x,k,时，有,当,x,=,x,l,时，有,28,公式也可改为,列维尔（,Neville,）算法,29,已知,f,(,x,)=sh,x,的值，用埃特金插值求,f,(0.23),的,近似值。,表中右端是各次插值的计算结果，由于三次插值的两个结,果相同，因而不需要再计算四次插值，故求得,f,(0.23)=0.232034,。,例,3,解,30,