一元一次方程的总复习.doc

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讲义编号

学员编号： 年 级：七年级 课时数：
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：
课 题
一元一次方程的总复习
授课日期及时段

教学目的
1. 正确理解一元一次方程的相关概念。
2. 熟练掌握一元一次方程的解法以及如何列相关应用题
教学内容
一. 一元一次方程的概念
在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？
答：含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程．
方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来．在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数．
怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？这是本章研究的问题．
★定义： 只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程．
例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程．
注意：“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的指数是一，这样的方程才是一元一次方程．
二.等式的性质
1．什么是等式？
用等号来表示相等关系的式子叫等式．
例如：m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式，我们可以用a=b表示一般的等式．
2．等式的性质．
（1）如果a=b，那么a±c=b±c．
运用性质（1）时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系，例如，对于等式3+4=7，如果左边加上5，右边加上6，那么3+4+5≠7+6．
（2） 如果a=b，那么ac=bc．
如果a=b，（c≠0），那么=．
性质（2）中仅仅乘以（或除以）同一个数，而不包括整式（含字母的），要注意与性质1的区别．
运用性质（2）时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数．
★重点
三.一元一次方程的解法
1．解方程的思路：
解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式性质和运算律进行一系列的变形，最终化为x=a，具体步骤是：①去分母（两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数，当分子是多项式时，分子必须加括号）；②去括号；③移项（注意移项要变号）④合并同类项；⑤系数化为1。当然这些步骤并不是一成不变的，要灵活运用这些步骤．
2．去分母就是根据等式性质（2），在方程两边都乘以分母的最小公倍数，常犯错误是漏乘不含有分母的项，再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面，分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．
例2. 解方程：-2=
解：去分母，得5（3x+1）-10×2=（3x-2）-2（2x+3）
去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6
移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20
合并，得 16x=7
系数化为1，得x=
思路点拨：（1）去分母所选的乘数应是所有分母的最小公倍数，不应遗漏；
（2）用分母的最小公倍数去乘方程的两边时，不要漏掉等号两边不含分母的项，如上面方程中的“2”．
（3）去掉分母以后，分数线也同时去掉，分子上的多项式用括号括起来．
例3.解方程：-=
解：-= （依据：分数的基本性质）
6（4x+9）-10(3+2x)=15(x-5)
24x+54-30-20x=15x-75
24x-20x-15x=30-54-75
-11x=-99
x=9
四.列方程解应用题的步骤
1、认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；
　　2、用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；
　　3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；
　　4、求出所列方程的解；
　　5、检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。
五.常见应用问题的类型
（1）.行程问题
[解题指导]：行程问题中的基本数量关系是：
路程=速度×时间
可变形为：速度=．
相遇问题或追及问题中所走路程的关系：
相遇问题：双方所走的路程之和＝全部路程＋原来两者间的距离．（原来两者间的距离）
追及问题：快速行进路程＝慢速行进路程＋原来两者间的距离
或快速行进路程－慢速行进路程＝原路程（原来两者间的距离）．
例1：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．
分析：（1）顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流速度，船在静水中的速度之间的关系如何？
顺流行驶速度＝船在静水中的速度＋水流速度
逆流行驶速度＝船在静水中的速度－水流速度
（2）设船在静水中的平均速度为x千米/时，由此填空（课本第97页）．
（3）问题中的相等关系是什么？
解：一般情况下，船返回是按原路线行驶的，因此可以认为这船的往返路程相等，由此，列方程：
2（x+3）=2.5（x-3）
去括号，得2x+6=2.5x-7.5
移项及合并，得-0.5x=-13.5
系数化为1，得x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时．
说明：课本中，移项及合并，得0.5x=13.5是把含x的项移到方程右边，常数项移到左边后合并，得13.5=0.5x，再根据a=b就是b=a，即把方程两边同时对调，这不是移项．
（2）.配套问题
[解题指导]：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例2：某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
分析：
已知条件：（1）分配生产螺钉和生产螺母人数共22名．
（2）每人每天平均生产螺钉1200个，或螺母2000个．
（3）一个螺钉要配两个螺母．
（4）为使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量与螺钉数量之间有什么样关系？
螺母的数量应是螺钉数量的两倍，这正是相等关系．
解：设分配x人生产螺钉，则（22-x）人生产螺母，由已知条件（2）得，每天共生产螺钉1200x个，生产螺母2000（22-x）个，由相等关系，列方程
2×1200x=2000（22-x）
去括号，得2400x=44000-2000x
移项，合并，得4400x=44000
x=10
所以生产螺母的人数为22-x=12
答：应分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
本题的关键是要使每天生产的螺钉、螺母配套，弄清螺钉与螺母之间的数量关系．

解法1：本题求两个问题，若设无风时飞机的航速为x千米/时，那么与例1类似，可得顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为（x-24）千米/时，根据顺风飞行路程=逆风飞行路程，列方程：
2（x+24）=3（x-24）
去括号，得x+68=3x-72
移项，合并，得-x=-140
系数化为1，得x=840
两城之间的航程为3（x-24）=2448
答：无风时飞机的航速为840千米/时，两城间的航程为2448千米．
注意：时钟问题也可以看作是行程问题来解决。如课本114页第8题。
（3）.工程问题
[解题指导]：1．工程问题有哪三个基本量？这些基本量之间有怎样的关系？
工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝．
2．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做1小时完成全部工作量的多少？
答：，也称为1小时的工作效率，即1小时完成全部工作的，如果一件工作甲独做a小时完成，那么甲独做1小时完成全部工作量的，称为1小时的工作效率．
3. 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例4：整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计算由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？
分析：这里可以把工作总量看作1，由一个人独做要40小时完成，那么每人做1小时的工作量是多少？（）一个人独做4小时做的工作量是多少？（）设先安排x人工作，那么x人工作4小时的工作量是多少？（）再增加2人和x人一起做8小时，完成工作量为多少？
本题的相等关系是什么？
这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为全部工作量1．
解：根据这个相等关系，列方程：
+＝1
去分母，得 4x+8（x+2）=40
去括号，得 4x+8x+16=40
移项，合并，得 12x=24
x=2
答：应先安排2名工人工作4小时．
（4）.利润问题
1）利润=售价-进价 （2）利润率== （3）打折销售中的售价=标价×
（4）售价=成本+利润=成本×（1+利润率） （5）利润=利润率×成本 （6）利息＝本金×利率×期数。

例5：某商品的进价为1600元，原售价为2200元因库存积压需降价出售，若每件商品仍想获得10%的利润,需几折出售?
解：需x折出售，根据题意可列方程 2200×-1600=1600×10﹪
解这个方程得：x=8
答：需要8折出售。

课堂练习：
1.下列等式变形正确的是( )
A.如果s=ab,那么b=; B.如果x=6,那么x=3；
C.如果x-3=y-3,那么x-y=0; D.如果mx=my,那么x=y；
2. 方程-3=2+3x的解是( )
A.-2; B.2; C.-; D.
3.关系x的方程(2k-1)x2-(2k+1)x+3=0是一元一次方程,则k值为( )
A.0 B.1 C. D.2
4.已知:当b=1,c=-2时,代数式ab+bc+ca=10,则a的值为( )
A.12 B.6 C.-6 D.-12
5.下列解方程去分母正确的是( )
A.由,得2x-1=3-3x;
B.由,得2(x-2)-3x-2=-4
C.由,得3y+3=2y-3y+1-6y;
D.由,得12x-1=5y+20
6.x=3和x=－6中,________是方程x-3(x+2)=6的解.
7.若x=-3是方程3(x-a)=7的解,则a=________.
8.若代数式的值是1,则k=_________.

回家作业：
1、当x=________时,代数式与的值相等.
2、5与x的差的比x的2倍大1的方程是__________.
3、若4a-9与3a-5互为相反数,则a2-2a+1的值为_________.
4、一次工程,甲独做m天完成,乙独做比甲晚3天才能完成,甲、乙二人合作需要_______天完成.
5、解方程,则x=_______.
6、解方程 .

解答题:
7、王强参加了一场3000米的赛跑,他以6米/秒的速度跑了一段路程,又以4 米/秒的速度跑完了其余的路程,一共花了10分钟,王强以6米/ 秒的速度跑了多少米? (10分)