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十年高考分类解析与应试策略数学
第一章 集合与简易逻辑

●考点阐释
集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础.
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题.
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力.
重点掌握：
（1）强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练.
（2）要正确理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的概念.数学概念的定义具有对称性，即数学概念的定义可以看成充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.
●试题类编
一、选择题
1.（2003京春理，11）若不等式|ax+2|<6的解集为（－1，2），则实数a等于（ ）
A.8 B.2 C.－4 D.－8
2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是（ ）
A.{x|－1＜x＜1 B.{x|0＜x＜3
C.{x|0＜x＜1 D.{x|－1＜x＜3}
3.（2002北京，1）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
4.（2002全国文6，理5）设集合M={x|x=，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则（ ）
A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=
5.（2002河南、广西、广东7）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0
6.（2001上海，3）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a－1）y=a－7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
7.（2000北京春，2）设全集I={a，b，c，d，e}，集合M={a，b，c}，N={b，d，e}，那么IM∩IN是（ ）
A. B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
8.（2000全国文，1）设集合A＝｛x｜x∈Z且－10≤x≤－1｝，B＝｛x｜x∈B且｜x｜≤5｝，则A∪B中元素的个数是（ ）
A.11 B.10 C.16 D.15
9.（2000上海春，15）“a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
10.（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
图1—1
A.15 B.16 C.3 D.4
11.（1999全国，1）如图1—1，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩S B.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩IS D.（M∩P）∪IS
12.（1998上海，15）设全集为R，A＝｛x｜x2－5x－6＞0｝，B＝｛x｜|x－5｜＜a｝（a为常数），且11∈B，则（ ）
A.RA∪B＝R B.A∪RB＝R
C.RA∪RB＝R D.A∪B＝R
13.（1997全国，1）设集合M=｛x｜0≤x＜2｝，集合N＝｛x｜x2－2x－3＜0｝，集合M∩Ｎ等于（ ）
A.｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜0≤x＜2
C.｛x｜0≤x≤1｝ D.｛x｜0≤x≤2｝
14.（1997上海，1）设全集是实数集R，M＝｛x｜x≤1＋，x∈R｝，N＝｛1，2，3，4｝，则RM∩N等于（ ）
A.｛4｝ B.｛3，4｝
C.｛2，3，4｝ D.｛1，2，3，4｝
15.（1996上海，1）已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N为（ ）
A.x=3，y=－1 B.（3，－1）
C.{3，－1} D.{（3，－1）}
16.（1996全国文，1）设全集I＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛3，5｝，则（ ）
A.I＝A∪B B.I＝IA∪B
C.I＝A∪IB D.I＝IA∪IB
17.（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（ ）
A.I＝A∪B B.I＝IA∪B
C.I＝A∪IB D.I＝IA∪IB
18.（1996上海文，6）若y=f（x）是定义在R上的函数，则y=f（x）为奇函数的一个充要条件为（ ）
A.f（x）=0
B.对任意x∈R，f（x）=0都成立
C.存在某x0∈R，使得f（x0）+f（－x0）=0
D.对任意的x∈R，f（x）+f（－x）=0都成立
19.（1995上海，2）如果P＝｛x｜（x－1）（2x－5）＜0，Q＝｛x｜0＜x＜10｝，那么（ ）
A.P∩Q＝ B.PQ
C.PQ D.P∪Q＝R
20.（1995全国文，1）已知全集I＝｛0，－1，－2，－3，－4｝，集合M＝｛0，－1，－2｝，N＝｛0，－3，－4｝，则IM∩N等于（ ）
A.｛0｝ B.｛－3，－4｝
C.｛－1，－2｝ D.
21.（1995全国理，1）已知I为全集，集合M、NI，若M∩N＝N，则（ ）
A.IMIN B.MIN
C. IMIN D.MIN
22.（1995上海，9）“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（ ）
A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件
C.充分必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件
23.（1994全国，1）设全集I＝｛0，1，2，3，4｝，集合A＝｛0，1，2，3｝，集合B＝｛2，3，4｝，则IA∪IB等于（ ）
A.｛0｝ B.｛0，1｝
C.｛0，1，4｝ D.｛0，1，2，3，4｝
24.（1994上海，15）设I是全集，集合P、Q满足PQ，则下面的结论中错误的是（ ）
A.P∪IQ= B.IP∪Q=I
C.P∩IQ= D.IP∩IQ=IP
二、填空题
25.（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_____.
26.（2002上海春，3）若全集I=R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为_____.
27.（2001天津理，15）在空间中
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题的是_____.
图1—2
28.（2000上海春，12）设I是全集，非空集合P、Q满足PQI.若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式）.
29.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_____.
三、解答题
30.（2003上海春，17）解不等式组.
31.（2000上海春，17）已知R为全集，A={x|log（3－x）≥－2}，B={x|≥1}，求RA∩B.
32.（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围.
●答案解析
1.答案：C
解析：∵|ax+2|<6，∴－6<ax+2<6，－8<ax<4
当a>0时，有，而已知原不等式的解集为（－1，2），所以有：
.此方程无解（舍去）.
当a<0时，有，所以有
解得a=－4，当a=0时，原不等式的解集为R，与题设不符（舍去），故a=－4.
评述：本题主要考查绝对值不等式的解法，方程的根与不等式解集的关系，考查了分类讨论的数学思想方法及逻辑思维能力，此题也可以利用选项的值代入原不等式，去寻找满足题设条件的a的值.
2.答案：C
解析：依题意可得，可得0＜x＜1.
3.答案：C
解析：M={2，3}或M={1，2，3}
评述：因为M{1，2，3}，因此M必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2，3.
4.答案：B
解析：方法一：可利用特殊值法，令k=－2，－1，0，1，2可得

∴MN
方法二：集合M的元素为：（k∈Z），集合N的元素为：x=（k∈Z），而2k+1为奇数，k+2为整数，因此MN.∴MN
5.答案：D
解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.
又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则
必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.
6.答案：C
解析：当a=3时，直线l1：3x+2y+9=0，直线l2：3x+2y+4=0
显然a=3l1∥l2.
7.答案：A
解析：∵IM={b，e}，IN={a，c}，∴IM∩IN=.
8.答案：C
解析：∵A＝｛－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1｝
B＝｛－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5｝
∴A∪B＝｛－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5｝共有16个元素.
9.答案：A
解析：若a=1，则y=cos2x－sin2x=cos2x，此时y的最小正周期为π，故a=1是充分条件.
而由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax，此时y的周期为=π，
∴a=±1，故a=1不是必要条件.
评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.
10.答案：A
解析：根据子集的计算应有24－1=15（个）.
评述：求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集.同时，A不是A的真子集.
11.答案：Ｃ
解析：由图知阴影部分表示的集合是M∩P的子集且是IS的子集，故答案为Ｃ．
评述：本题源于课本，属送分题，是前几年高考题的回归.
12.答案：D
解析：由已知A={x|x>6或x<－1}，B={x|5－a<x<5+a}，而11∈B，
∴a>6.
此时：5－a<－1，5+a>6，∴A∪B=R.
评述：本题考查集合基本知识，一元二次不等式、绝对值不等式的解法及分析问题解决问题的能力.
13.答案：B
解析：方法一：N＝｛x｜x2－2x－3＜0｝＝｛x｜－1＜x＜3｝，所以M∩N＝｛x｜0≤x＜2｝，故选B.
方法二：由（）2－2·（）－3＜0，知1.5∈N，又1.5∈M，因此1.5∈M∩N，从而排除A、Ｃ；由交集定义与M的表达式，可排除D，得B.
评述：本题考查对交集的理解和掌握，所设定的集合实质是不等式的解集，兼考处理不等式解集的基本技能.
14.答案：B
解析：RM={x|x>1+，x∈R}，又1+<3.
故RM∩N={3，4}.故选B.
15.答案：D
解析：
方法一：解方程组得故M∩N＝｛（3，－1）｝，所以选D.
方法二：因所求M∩N为两个点集的交集，故结果仍为点集，显然只有D正确.
评述：要特别理解集合中代表元素的意义，此题迎刃而解.
16.答案：Ｃ
解析：方法一：显然IB＝｛1，2，4，6，7｝，
于是A∪IB＝I，故选Ｃ.
方法二：利用文氏图1—3知I＝A∪IB，应选Ｃ.
17.答案：Ｃ
解析：方法一：IA中元素是非2的倍数的自然数，IB中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.
图1—4
方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以IB＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪IB，故答案为Ｃ.
方法三：因BA，所以IAIB，IA∩IB＝IA，故I＝
A∪IA＝A∪IB.
方法四：根据题意，我们画出文氏图1—4来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=
A∪IB是成立的.
评述：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求.
18.答案：D
解析：由奇函数定义可知：若f（x）为奇函数，则对定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x），即f（－x）+f（x）=0，反之，若有f（x）+f（－x）=0，即f（－x）=－f（x），由奇函数的定义可知f（x）为奇函数.
评述：对于判断奇偶性问题应注意：x为定义域内任意值，因此定义域本身应关于原点对称，这是奇偶性问题的必要条件.
19.答案：B
解析：由集合P得1<x<，由集合Q有0<x<10.利用数轴上的覆盖关系，易得PQ.
20.答案：B
解析：由已知IM={－3，－4}，∴IM∩N={－3，－4}.
21.答案：C
图1—5
解析一：∵M∩N=N，∴NM，∴INIM
解析二：画出韦恩图1—5，显然：IMIN.故选C.
评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系，题目中不给出具体集合，对分析问题解决问题能力提高了要求.
22.答案：A
解析：如果方程ax2+by2=c表示双曲线，即表示双曲线，因此有，即ab<0.这就是说“ab<0”是必要条件；若ab<0，c可以为0，此时，方程不表示双曲线，即ab<0不是充分条件.
评述：本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念.
23.答案：C
解析：∵IA={4}，IB={0，1}，∴IA∪IB={0，1，4}.
图1—6
24.答案：D
解析：依题意画出文氏图：如图1—6，显然A、B、C均正确，故应选D.
25.答案：a≤－2
解析：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系：如图1—7
图1—7
因此有a≤－2.
评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系.
26.答案：P∩IQ
解析：∵g（x）≥0的解集为Q，所以g（x）<0的解集为IQ，因此的解集为P∩IQ.
评述：本题以不等式为载体，重点考查集合的补集、交集的概念及其运算，活而不难.
27.答案：②
解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.
我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1B1C1D1四点共面，所以①中逆命题不真.
②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点.
由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点.
所以②中逆命题是真命题.
图1—8
评述：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识，考查命题的有关概念.
28.答案：P∩IQ
解析：阴影部分为IQ（如图1—8）
显然，所求表达式为IQ∩P=，
或IQ∩（Q∩P）或IQ∩（Q∪P）=.
图1—9
评述：本题考查集合的关系及运算.
29.答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n，或m⊥n，m⊥α，
n⊥βα⊥β.（二者任选一个即可）
解析：假设①、③、④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，
如图1—9，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.
又设m⊥α的垂足为A，
过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C，
因为l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，得l⊥AC，l⊥BC，∠ACB是二面角α－l－β的平面角.
显然∠APB+∠ACB=180°，因为PA⊥PB，所以∠ACB=90°，得α⊥β.由①、③、④推得②成立.
反过来，如果②、③、④成立，与上面证法类似可得①成立.
评述：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质，但题型较新颖，主要表现在：题目以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体，解题的关键是将符号语言转化为图形语言.考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向.
30.解：由x2－6x+8>0，得（x－2）（x－4）>0，∴x<2或x>4.
由>2，得>0，∴1<x<5.
∴原不等式组的解是x∈（1，2）∪（4，5）
评述：本题主要考查二次不等式、分式不等式的解法.
31.解：由已知log（3－x）≥log4，因为y=logx为减函数，所以3－x≤4.
由，解得－1≤x<3.所以A={x|－1≤x<3}.
由≥1可化为
解得－2<x≤3，所以B={x|－2<x≤3}.
于是RA={x|x<－1或x≥3}.故RA∩B={x|－2<x<1或x=3}
评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力.
32.解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}.
由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}.
因为AB，所以，于是0≤a≤1.
评述：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.
●命题趋与应试策略
1.有关集合的高考试题.考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.
2.有关“充要条件”、命题真伪的试题.主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解.
试题以选择题、填空题为主，难度不大，要求对基本知识、基本题型，求解准确熟练.