正多边形和圆.doc

24．3 正多边形和圆

[教学任务分析]
教学目标
知识
技能
1． 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．
2． 在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．
数学
思考
学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．
解决
问题
在探索正多边形与圆的关系的过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题．
情感
态度
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的．
重点
探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．
难点
探索正多边形与圆的关系．
[教学流程安排]
活动流程图
活动内容和目的
活动1 观察图案，提出问题
观察正多边形形状的图案，发现正多边形与圆的关系．
活动2 探索正多边形与圆的关系
应用圆的有关知识探索将圆n等分，顺次连接n个分点，所得到的多边形是正n边形．（以圆内接正五边形为例）
活动3了解概念，巩固练习
解决正多边形与圆的有关计算问题
活动4归纳总结，布置作业
巩固知识，深化提高

[教学过程设计]
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
观看下列美丽的图案．

问题1
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

问题2
你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？

教师演示课件或展示图片，提出问题1．

学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．

教师关注：
（1） 学生能否从这些图案中找到正多边形；
（2） 学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．

教师提出问题2，引导学生观察、思考．
学生讨论、交流，发表各自见解．
教师关注:
学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．

通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美．

问题2的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上．
[活动2]
问题1
将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．

问题2
　　如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

问题3
　　各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．
教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．
教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．
教师关注：
（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；
（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；
（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；
（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．
教师带领学生完成证明过程．

教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题．

教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．
教师根据学生的回答给以总结：
将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．

教师提出问题3，学生讨论，思考回答．教师关注：
（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；
（2）学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等；
（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．
教师讲评．

在活动1中学生们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形．

活动2的设计就是要学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的能力．

问题2的设计是将结论由特殊推广到一般．这符合学生的认知规律．并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般．

问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，且各内角都相等，这两个条件缺一不可．同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性．
[活动3]
学生观看课件，理解概念．

例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．

例题2 完成教材第117页习题24．3第1题．

教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念．

教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．
教师关注：
（1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；
（2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究．
（3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积．
　　教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法．

　　教师让学生独立完成例题2，教师巡视，个别辅导．给出正确答案．

例题1、2是有关正多边形计算的具体应用，目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识．
学生在教师的引导下，将正多边形的中心，半径，中心角，边心距等集中在一个三角形中来研究，即将正多边形的中心与顶点连接起来，将正多边形分割成n个全等的等腰三角形，让学生们发现每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定理进行计算．进而能够求得正多边形的周长和面积．教师引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决．
体现了化归思想在解题中的应用．

[活动4]
小节
学完这节课你有哪些收获？

布置作业
1．教科书第117页习题24．3第3、5、6题．
2．思考题
问题1：
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
问题2
正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？
学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．
教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．

学生独立完成，教师批改、总结，重点关注：
（1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析；
（2）学生面对探究性问题的解决方法．

了解教学效果，及时调整教学．
通过对实际问题的探究，完成具体→抽象→具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解．

教学设计说明
本课时是24．3正多边形和圆的第1小节．是在学生掌握了圆的有关知识的基础上的进一步拓展．
本小节的开始,学生通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体．让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美的同时，提出本节课所要研究的问题：正多边形与圆有什么关系？激发学生的好奇心和求知欲，并在运用已有的圆的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心．在研究正多边形和圆的关系时，是按照由特殊到一般的认知规律，以正五边形为例进行探索和证明的，并将结论推广到正n边形．教师在本节课的教学中应关注：学生能否体会到化归思想在研究问题中的重要性，并在今后的学习中有意识地运用数学思想解决问题．