例说三角恒等变换技巧.doc

例说常用三角恒等变换技巧
南漳一中 蒋彦祖
【摘要】 解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点，从“角变换技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、 “公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
【关键词】 三角 公式 恒等变换 技巧
解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”、“万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
一 “角变换”技巧
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知，求证：。
【分析】：所给已知条件出现的“已知角”是与，问题涉及的“未知角”是与，比较这四个角可以发现，，把“已知角”转化为“未知角”，再用两角和的正切公式展开、整理即可证明等式成立。
【简证】：∵
∴
展开得
移项整理得
又∵，等式两边同乘得

【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有： ，，，，，等.
二 “名变换”技巧
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。
例2 已知向量，，求的定义域和值域；
【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。
【简解】

由得，，
所以，.的定义域是，值域是.
【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.
3 “常数变换”技巧
在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 ，，等.
例3 （1）求证: ；（2）化简：.
【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.
【简解】（1）左边=
.
（2）原式=

【反思】“1”的变换应用是很多的， 常见的有 等。
四 “升降幂变换”技巧
当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，，，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.
例4 （1） 化简：
(2) 若
【分析】(1) 含有根号，需“升幂”去根号.
(2) 注意，运用诱导公式和倍角公式求出。
【简解】(1) 原式=
=
因为，所以，，
所以，原式.
，

【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如(1)中用到了常数“变换技巧”，(2)中用到了“切化弦“的技巧
五 “公式变用”技巧
几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.
例5 求值：（1）；
（2）。
【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。
【简解】（1）原式＝。
（2）原式＝＝。
【反思】第（1）小题的一般性结论是： .
六 “辅助角变换”技巧
通常把叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为的形式，来研究其图象与性质. 尤其是当，，时，要熟记其变换式，如，等.
例6．已知正实数a,b满足。
【分析】从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。
解法一：由题设得

解法二：

解法三：

【反思】以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，，或
在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。
七 “换元变换”技巧
有些函数，式子里同时出现（或）与，这时，可设（或），则（或），把三角函数转化为熟悉的函数来求解.
例7 求函数的值域．
【分析】同时出现与时，可用.
【简解】设，因为，，所以，
又由得，，
　　　所以，，
由得，.
【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式应用广泛，如在解答命题“已知，是方程的两根，求的值．”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。
最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法，每一个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，所以，只有准确理解三角公式的内在关系及其基本功能，善于发现问题中角、名、结构的差异，准确地选择转换策略，化异为同，才能准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题.

【参考文献】
1． 汪江松著《高中数学解题方法与技巧》，湖北教育出版社
2． 罗增儒著《数学解题学引论》，陕西师范大学出版社

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