一元二次方程知识点梳理.docx

1、一元二次方程的一般式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项。
1、 一元二次方程的解法
（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
① 解为：
② 解为：
③ 解为：
④ 解为：
（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3） 配方法
①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

示例：
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

示例：
备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
（4）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、、
②求出，并判断方程解的情况。
③代公式：（要注意符号）
备注：一元二次方程的解题步骤：
①首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：
如：（同除于10）这样更加方便计算。
（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）
②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。
3、一元二次方程的根与系数的关系
法1：一元二次方程的两个根为：

所以：，

定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：

法2：如果一元二次方程定的两个根为；那么
两边同时除于，展开后可得：
；
法3：如果一元二次方程定的两个根为；那么
②
①
①②得：（余下略）
常用变形：
， ， ，
， ，
等
练习：
【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，
请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．
4、韦达定理相关知识
（1）若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
（2）如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。
（3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
（4）在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。
（5）二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解。
5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨
的两个根为，那么：
（1）的两个根为：，（原因留给大家自行思考）
例1： 先求出方程：的两根为：
，故原方程的根为：
（2）的两个根为：，
例2：
先解得方程：的两根为：，所以原方程的两个解为：

6、应用题
（1）平均增长率的问题： 其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数，
表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用
7、换元法 例：
解：令 则原方程可化为： 解得：
①当时，求得：
②当时，求得：（原方程共有4个解） 练习：