两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式).doc

　　　三角函数导学案（3）　杨恒清 使用时间：2014-10-22
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)
一．【学习目标】
1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；
2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.
二．重点、难点、易错（混）点、常考点
灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值
三．【知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
C ；
C
S ；
S ．
T
由T可得公式变形
T
由T可得公式变形得：
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
________________；________________。

________________=________________=________________；

四．【基础题达标】
1．=
2．sin15°sin30°sin75°＝__________．
3．cos20°cos40°cos60°cos80° =

4．， =
5. 的值等于
6．=
7．化简：=
8．若，则的值
9．且，则
10．， =
11．函数的最大值为
12．.若，则
13．=
14．化简：=
15．已知cos（）+sin=
考点一：　运用公式求值、求角问题
【例1】 (1)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos(α－β)的值．
(2)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(3)已知＜β＜α＜π，sin(α－β)＝，cos(α＋β) =－，求sin2α的值
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

【训练1】已知是锐角且，求

【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

考点二：　公式的变形应用

【例2】已知：=。
求证：=

【训练1】若，求

【训练2】已知均为锐角且，则

【训练3】若。则=

【训练4】已知为锐角，且，则

考点三：　应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题
【例3】已知向量，且A为锐角
（1）求角A的大小
（2）求函数的值域。

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．　
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)
一．【学习目标】
1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；
2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.
二．重点、难点、易错（混）点、常考点
灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值
三．【知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
C ；
C
S ；
S ．
T
由T可得公式变形
T
由T可得公式变形得：
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
________________；________________。

________________=________________=________________；

四．【基础题达标】
1．=
2．sin15°sin30°sin75°＝__________．
3．cos20°cos40°cos60°cos80° =

4．， =
5. 的值等于
6．=
7．化简：=
8．若，则的值
9．且，则
10．， =
11．函数的最大值为
12．.若，则
13．=
14．化简：=
15．已知cos（）+sin=
考点一：　运用公式求值、求角问题
【例1】 (1)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos(α－β)的值．
(2)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(3)已知＜β＜α＜π，sin(α－β)＝，cos(α＋β) =－，求sin2α的值
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

规律揭示：(1) 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：＝－；α＝(α－β)＋β等；＋α＝－；15°＝45°－30°等．
(2)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(3)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【训练1】已知是锐角且，求

【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

考点二：　公式的变形应用

【例2】已知：=。
求证：=

【训练1】若，.则

【训练2】已知均为锐角且，则

【训练3】若。则=

【训练4】已知为锐角，且，则

考点三：　应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题
【例3】已知向量，且A为锐角
（1）求角A的大小
（2）求函数的值域。

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．　
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

省扬高中高三数学练习　　第9页