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求解递推数列通项公式的策略例析
编辑整理 季成龙
递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。
一、利用公式法求通项公式
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，
故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、利用累加法求通项公式
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由 得
则

所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由 得
则

所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，
故

因此，则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
三、利用累乘法求通项公式
例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，
则

所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6 （2004年全国15题）已知数列满足
，则的通项
解：因为 ①
所以 ②
所以②式－①式得则则
所以
③
由，取n=2得，则，又知，则，代入③得。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n≥2），进而求出，从而可得当n≥2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。
四、利用待定系数法求通项公式
例7 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，
得 ⑤
由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得
整理得。令，则，代入⑥式，得
⑦由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
例9 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则
等式两边消去，得，
则得方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
五、利用对数变换法求通项公式
例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
六、利用迭代法求通项公式
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而
七、利用数学归纳法求通项公式
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当n=1时，，所以等式成立。
（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，

由此可知，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）（2）可知，等式对任何
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、利用换元法求通项公式
例13 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得
即
因为，故
则，即，可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
九、利用不动点法求通项公式
例14 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
例15 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则x=1是函数的不动点。
因为，所以
，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
十、利用特征根法求通项公式
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。
由初始值，得方程组
求得
从而。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。
十一、利用换元法求通项公式
例17、数列中，，。求。
分析 本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列，使
则 ， ，即
化简得
，即
数列 是以2为首项，为公比的等比数列。
即

例18、设， ，求：。分析 利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列，使，化简递推关系式。
证明：易知，构建新数列，使，
则
，又 ， ，从而
因此，新数列是以为首项，为公比的等比数列。

例19、设数列满足，
求证： 。
（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题）
分析 直接令，转化为证明
证明：构建新数列，令则 ，代入 整理得
从而
于是

由已知，，，由上式可知，，，依次类推， ，即。
例20、设r为正整数，定义数列如下： ， 求证：。
（1992年中国台北数学奥林匹克试题）
分析 把条件变形为比较与 前的系数及与 的足码，考虑到另一项为，等式两边同乘以，容易想到构新数列，使。
证明：由已知得
构建新数列，则，

又

| | ，从而 。

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