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锐角三角函数的应用专题复习
班级：___________ 姓名：_________
【教学目标】
1. 知识目标：掌握解答锐角三角函数的实际应用问题的方法与步骤；
2. 技能目标：在研究问题中思考如何把实际问题转换成数学问题，进而把数学问题具体化。同时在研究解决问题的过程中思考数学问题模型化的切入点以及模型选择时的条件的分析与认定的基本法。
3. 情感目标：在解决问题的过程中引发学生的学习需求，让学生在学习需求的驱动下主动参与学习的全过程，并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的。
【教学重点】掌握解答锐角三角函数的实际应用问题的方法与步骤
【教学难点】学会作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代要求的元素。
【教学过程】
一、知识点回顾：
知识点1：如图：在△ABC中，角C=90°.
① 两锐角的关系：∠A+∠B= ； ② 三边之间的关系：
③ 边与角之间的关系：
正弦= 余弦= 正切=
sin A= cos A= tan A=
知识点2：特殊角的三角函数值：

锐角α 三角函数
30°
45°
60°
sin α

cos α

tan α

知识点3：在解直角三角形及应用时经常接触到的一些基本概念
（1）仰角和俯角: （2）方位角: （3）坡度：也叫坡比，用i 表示，即i=h:l，h是坡面的垂直高度，l 是水平宽度. tan α= i = h : l

二、例题讲练
【例1】如图所示，在港珠澳大桥的建设中，由于施工需要需在海面的A处和B处搭建施工设施。勘测直升飞机在海面上方P点处，此时飞机离海面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得A，B两处的俯角分别为α=30°，β=45°，求A，B两点间的距离．

变题1：如图所示，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO．

变题2：如图所示，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO．

变题3：如图所示，在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为50°，测得大楼底部俯角为32°，求点P与大楼之间的水平距离．（tan32°=，tan50°=）

解题方法小结：
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造直角三角形.
3. 重视方程的应用，通常在一个直角三角形中，设其中一条边为x，等量关系则隐藏在另一个直角三角形中，比如利用勾股定理或三角函数。另外，要合理选择未知数，简化方程形式，有利于计算，比如设45°或30°角的对边为 x .
三、课堂巩固提高
1. 某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需 8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．

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2．如图，我省在修建泛亚铁路时遇到一座山，要从A地向B地修一条隧道（A，B在同一水平面上），为了测量A，B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从M地出发垂直上升150 米到达C处，在C处观察A地的俯角为60°，然后保持同一高度向前平移200米到达D处，在D处观察B地的俯角为45°，则A、B两地之间的距离为多少米？（参考数据：≈1.73；结果保留整数）

3. 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75° 方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

四、总结归纳
1. 常见数学模型总结：

2. 本节课体现的数学建模的思想方法.