二次函数复习专题.doc

同步作业（1）
一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦； ⑧。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数是关于的二次函数，则的取值范围为 。
4、已知函数是二次函数，则＝ 。
5、若函数是关于的二次函数，则的值为 。
6、已知函数是二次函数，求的值——-
二、列二次函数的解析式（一定要写出自变量的取值范围）
1、某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为米，广告牌的面积为S 平方米。广告牌的面积S与的函数关系式为 。
2、如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC上的一动点，若QP⊥AP，交DC于Q，设PB＝，
△ADQ的面积为， 与的函数关系式为 .
3、如图，△ABC是等腰三角形铁板余料，其中AB＝AC＝20㎝，BC＝24㎝，若△ABC上截出一矩形零件DEFG，使EF在边BC上，点D、G分别在AB、AC上，（1）设EF＝㎝，S矩形DEFG＝㎝2，试写出与的函数关系式；（2）问截得的矩形DEFG的长、宽为何值时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半？
4、某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车；
（2）设每辆车的月租金定为（≥3000）元，用含的代数式填表格：
未租出的车辆数

租出的车辆数

所有未租出的车辆每月的维护费

租出的车每辆的月收益

（3）写出该公司的月收益（元）与之间的函数关系式。

6、某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经实验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件。按每件25元销售时，每月能卖210件。假定每月销售的件数（件）是价格（元/件）的一次函数，（1）试写出与的函数关系式；（2）如果以每件元销售时，每月可获利润为ω元，试写出ω与的函数关系式；它是二次函数吗？

B
7、某化工材料经销公司购进了一批化工原材料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元/千克时，日均销售60千克；单价每降低1元，每天多销售2千克，在销售过程中，每天还需支出各种费用500元（天数不足1天按1天计算）。设销售单价为元/千克，日均获利为元，求与之间的函数关系式。

8、已知扇形的周长为20㎝，半径为㎝，写出扇形的面积S与半径之间的函数关系式。

9、如图，△ABC，∠B＝900，AB＝6㎝，AC＝10㎝，点P从A点开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动。（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，试求经过t秒后，△PBQ的面积与时间t的函数关系式；（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，假设P点运动时间为t秒，试求△PCQ的面积与时间t的函数关系式。
同步作业（2）
C
10、如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，截取AE＝BF＝DG＝x.已知AB＝6，CD＝3，AD＝4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.
11、某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品， 规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件.试销时，发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，如图所示.
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元， 试用销售单价表示毛利润S.
12、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌， 广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米.
(1)求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.
(2)为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)

13、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元， 在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售时为20万件;销售单价每增加10元， 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x元，销售量为y万件，获利(年获利＝年销售额－生产成本－投资)为z万元.
(1)试写出y与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)
(2)试写出z与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)
(3)计算销售单价为160元时的获利，并说明同样的获利，销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?

14、如图所示，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝2，P是AC上与A、C不重合的一个动点，过P、B、C的⊙O交AB于D.设PA＝x，PC2＋PD2＝y，求y与x
同步作业（2）
二次函数的图象与性质
1. 二次函数的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。
2. 二次函数的图象开口 ，当＞ 0时，随的增大而 ；当＜ 0 时，随的增大而 ；当＝ 0时，函数有最 值是 。
3. 二次函数的图象开口 ，当＞ 0时，随的增大而 ；当＜ 0时，随的增大而 ；当＝ 0时，函数有最 值是 。
4. 已知点A（2，），B（4，）在二次函数的图象上，则 .
5. 已知点A（－2，），B（4，）在二次函数的图象上，则 .
6. 在函数中，其图象的对称轴是轴的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7. 抛物线不具有的性质是（ ）
A．开口向下； B．对称轴是轴；
C．当＞ 0时，随的增大而减小； D．函数有最小值
8. 抛物线共有的性质是（ ）
A．开口方向相同 B．开口大小相同 C．当＞ 0时，随的增大而增大 D．对称轴相同
9. 已知抛物线经过点A（1，－4），求（1）＝4时的函数值；（2）＝－8时的的值。

10. 已知抛物线的开口向下，则的值为 。
11. 已知抛物线与直线有唯一交点，求k的值。

12. 已知P（x，y）是抛物线第三象限内的一点，点A的坐标为（4，0），求OPA的面积S与x的函数关系式。

函数
a的符号
开口
方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值

a＞0
向上
y轴
(x＝0)
（0，0）
当x＜0时，

当x＞0时，
x＝0时，
y最小＝0
a＜0
向下
当x＜0时，

当x＞0时，
x＝0时，
y最大＝0

a＞0
向上
y轴
(x＝0)
(0，k)
当x＜0时，

当x＞0时，
x＝0时，
y最小＝k
a＜0
向下
当x＜0时，

当x＞0时，
x＝0时，
y最大＝k

a＞0
向上
x＝h
(h，0)
当x＜h时，

当x＞h时，
x＝h时，
y最小＝0
a＜0
向下
当x＜h时，

当x＞h时，
x＝h时，
y最大＝0

a＞0
向上
x＝h
(h，k)
当x＜h时，

当x＞h时，
x＝h时，
y最小＝k

a＜0
向下
当x＜h时，

当x＞h时，
x＝h时，
y最大＝k

a＞0

向上

当x＜时，

当x＞时，
当时，

a＜0

向下
当x＜时，

当x＞时，

当时，
二次函数的性质
同步作业（3）
函数的图象与性质
1．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y随x的增大而增大， 当x 时， y随x的增大而减小.
2．将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
3．二次函数中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值等于 。
4．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线，当k取0，时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。其中判断正确的是 。
5．将抛物线向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x＝ 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 。
6．已知函数：， 和。
（1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（4）试说明函数、、的图象分别有抛物线作怎样的平移才能得到
（2）（3）解答：
（4）答：

同步作业（4）
函数的图象与性质
1．填表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

2．已知函数，和。
（1）在同一坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（3）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线得到抛物线和？
答:

3．试写出抛物线经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

5．二次函数的图象如图：已知，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

同步作业（5）
函数的图象与性质
1． 分别在同一坐标系内画出函数和的图象，并根据图象写出对称轴、顶点坐标、最值和增减性。
答：

2． 已知函数。
（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 当x＝ 时，抛物线有最 值，是 。
（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；
（6） 该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的？

3． 已知函数。
（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0。

同步作业（6）
函数的图象和性质
1．抛物线的对称轴是 。
2．抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）； （2）； （3）

5．把抛物线的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是，试求b、c的值。

6．把抛物线沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

同步作业（11）
1. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：
（1） 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2） 若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）

2. 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？

3. 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。
（1） 求二次函数的图象的解析式；
（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。

4. 如图：
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。

5. 已知抛物线经过A（－3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。
（1） 求这条抛物线的解析式；
（2） 如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m值和点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值。

6、如图，某建筑物从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，求水流落点B离墙的距离OB的长。

7、已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
x（天）
5
15
25
y（元）
15
10
15
（1） 求y与x的函数关系式；
（2） 大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？

8、一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。

9、某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，试求厂门的高度。

10、抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 求四边形ABDE的面积；
（3） 求证：△AOB∽△BDE 。

11、在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为（－8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径的⊙P与y轴的负半轴交于点C。
（1） 求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2） 设M点为（1）中抛物线的顶点，求直线MC的解析式；
（3） 判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由。

同步作业（14）
二次函数应用
(一）经济策略性
A
1. 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.
(1)试求Y与X的之间的关系式.
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。
（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。
（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3. 某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。
（1） 求Y与X之间的函数关系式；
（2） 在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；
（3） 在图9所示的坐标系中，画出（2）中求出的函数图象草图，观察图象，指出销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

B
4. 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表所示：
(1)求y与x的函数的关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)和x(十万元)的函数关系式?
(3)如果投入的年广告费为10万至30万元,问广告费在范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?

5. 某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s 与t之间的关系）。
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1） 由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系式；
（2） 求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元；
（3） 求第8个月公司所获利润是多少万元？

6. 启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量是10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的啊销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1） 试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元；
（2） 把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资额和预计年收益如下表：
项目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
1
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目。

（二）压轴题
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
（1） 求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
（2） 若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
O
x
y
（3） 设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合）交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S。
① 求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围；
② 求S取得最大值进点P的坐标；
③ 设四边形OBMC 的面积S/,判断是否存在点P，使得S＝S/ ,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 已知，是边上的中线，分别以所在直线为轴，轴建立直角坐标系（如图）．
（1）在所在直线上找出一点，使四边形为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；
（2）求直线的函数关系式；

（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

3. 如图，已知二次函数y=ax2＋bx＋c的象经过A(－1，0)、B(3，0)、N(2，3)三点，且与y轴交于点C。
(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
(2)若直线y=kx＋d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

(3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
A
O
E
B
N
M
C
D
x
y

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
　　(1)求A、B两点的坐标；
　　(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；
(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

5. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，从点和点分别引平行于轴的直线与轴分别交于，两点，点，分别为线段和上的动点，过点且平行于轴的直线与抛物线和直线分别交于，．

（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点的坐标．
（2）指出二次函数中，函数随自变量增大或减小的情况．
（3）当时，求的值．
（4）当时，求的值．

6. 如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（3分）
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（4分）
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。（4分）

7. 已知抛物线，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y随着x的增大而减小
（1）求k的值及抛物线的解析式
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线
（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O‘的坐标
（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点
①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O‘的切线？并求出此时直线BG的解析式
②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？
。
O
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
x
y

8. 已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC.（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
O
y
x

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