反比例函数图象性质的再探.docx

反比例函数图象的性质再探
古城中学 赵吉清
教学目标
知识与能力：掌握反比例函数图象的性质：“一般地，如果直线与反比例函数图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于C、D两点，那么AC=BD.”
过程与方法：经历反比例函数函数图象上述的性质的探究过程，并能应用这一性质解决相关问题.
情感、态度与价值观：体会由特殊到一般，由一般到特殊的探究方法，在解决与反比例函数图象有关的问题中感受数形结合，转化思想、方程思想.
重点：反比例函数图象的性质的探究及证明.
难点：中考链接中的例题综合运用反比例函数的性质.
教学设计
引入
师：前面的课中我们回顾了一次函数与反比例函数的解析式、图象与性质、图象交点等问题，在复习一次函数与反比例函数相交时，老师发现一个有趣的现象：
算一算（课前完成）
如图，直线y=-x+3交反比例函数（k≠0）于A、B两点，交坐标轴于C、D两点，求AC与BD的长。

计算结果：AC=BD=（学生口答）
再算一算：（分组完成：女生第（1）题，男生第（2）题）
（2）当直线为，反比例函数为时，求AC与BD的长。
（1）当直线为，反比例函数为时，求AC与BD的长。

O
A
B
D
C
x
y
O
A
B
C
D

B
A

计算结果：（多媒体展示学生计算过程，并让学生说说思路:计算点A、B、C、D的坐标，分别过点A、B作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。）
第（1）题AC=BD=；第（2）题AC=BD=
师：发现了……
生：AC=BD
猜想：如图，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，交坐标轴于C、D两点，此时，线段AC=BD
师：根据刚才的探索，我们可以发现交点A、B的位置分两种情况：（1）在同一象限；（2）在两个象限。这里以两交点在同一象限为例进行证明。

A
B
C
D
O
P
G
H
F
E
x
y
证明：如图，分别过点A、B作AE⊥y轴、BG⊥y轴
作AH⊥x轴，BF⊥x轴，
由K的几何意义，得
S矩形AEGP=S矩形BPHF
∴ AE•AP=BP•BF
则 …… ①
易得，△APB∽△BFD，△AEC∽△DFB
∴ …… ②
由①②得，AE=DF,则 △AEC≌△DFB
∴ AC=BD
归纳发现
如上图，一般地，如果直线与反比例函数图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于C、D两点，那么 线段AC=BD

运用新知
1. 如图，直线y=kx+b与反比例函数的图象交于A、B两点，
D
C
B
A
O
y
x
与坐标轴交于C、D两点，连结OA，OB。
判断下列说法是否中正确，并说明理由。
① AC=BD； ②AC=AB；
③AD=BC； ④S△AOC=S△BOD；
⑤S△COB=S△AOD； ⑥AO=BO

解：①③④④

2.如图，直线y=ax+3与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连结OA，OB.已知AB:BD=3:1，BD=1
（1）你能求出哪些量？（让学生思考后回答）
有关长度的结论：AC=1，AB=3，CD=5，OC=3，OD=4等；
有关点的坐标：点D（0，3），点C（4，0）；
有关解析式：直线CD: 等；
（2）能求出k的值吗？点A的坐标？（追问：点B的坐标呢？）
（学生回答）
分析：要求k的值，可先求点A或点B的坐标，
分别作AE⊥y轴于E，AF⊥x轴于H，
由题意，得 △AEC∽△DOC，
则，∴ AE=,
类似的，,
∴ 点A， 则k=
同理，点B

H
G
y
x
D
O
A
B
C
F
E

归纳小结：（学生说，教师小结）
板书：AC=BD→作垂线，构相似→相似比→线段长→点的坐标→解析式

中考链接
（2016丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=
（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．
（1）b=　　　　　　（用含m的代数式表示）；
（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是　　　　　　．
（学生合作完成，多媒体展示）
解：（1）；（2）；

课时小结
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
2. 你在哪些地方还存在疑惑？
教师小结
1.探索一个结论：AC=BD
2.学习一种方法：特殊→一般→特殊
3.数学思想：数形结合，转化思想，方程思想

课后巩固
1. 如图，矩形AOBC的顶点O在坐标原点，OA=3，OB=4，F在BC上（不与B，C重合），过F的双曲线与AC交于点E，直线EF与坐标轴交于点D，G，若DE•EG=，则　　 　．
A
B
C
D
x
y
O

2．如图，直线AB与反比例函数的图象两个交
点A、B在双曲线的两个分支上。
证明：AC=BD

（2015江西）3. 如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交于点P(x0，0)，与y轴交于点C．
(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)．求点P的坐标；
(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标；
(3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系(不要求证明)．
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