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函数及其表示考纲知识梳理
一、函数与映射的概念

函数
映射
两集合
设是两个非空数集
设是两个非空集合
对应关系

如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。
如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。
名称
称为从集合到集合的一个函数
称为从集合到集合的一个映射
记法
，
对应是一个映射
注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
二、函数的其他有关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域
（2）一个函数的构成要素
定义域、值域和对应法则
（3）相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
（4）函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。
（5）分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
函数及其表示测试题
1、设函数则不等式的解集是（ A ）
A. B.
C. D.
解析 由已知，函数先增后减再增
当，令
解得。
当，
故 ，解得

2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

3、 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；

解：（1）（配方法），
∴的值域为
（2）求复合函数的值域：
设（），则原函数可化为
又∵，
∴，故，
∴的值域为
（3）（法一）反函数法：
的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为
（法二）分离变量法：，
∵，∴，
∴函数的值域为
（4）换元法（代数换元法）：设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为
注：总结型值域，
变形：或
（5）三角换元法：
∵，∴设，
则
∵，∴，∴，
∴，
∴原函数的值域为
（6）数形结合法：，
∴，∴函数值域为
（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为
由得： ①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴△，
∴且，
∴原函数的值域为
（8），
∵，∴，
∴，
当且仅当时，即时等号成立
∴，
∴原函数的值域为

4、求函数的解析式
（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求；

解：（1）配凑法：∵，
∴（或）；
（2）换元法：令（），则，
∴，；
（3）待定系数法：设，
则，
∴，，
∴；
（4）方程组法： ①
把①中的换成，得 ②，
①②得
∴。

5.设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－x2的最大值是M(a)，试求：M(a)的表达式；
解 将代数式y+3x－x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。
设S(x)=y+3x－x2,将y=2－ax代入消去y，得：
S(x)=2－ax+3x－x2
=－x2+(3－a)x+2
=－[x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0)
∵y≥0 ∴2－ax≥0
而a>0 ∴0≤x≤
下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3－a<(a>0)，即
时
解得 0<a<1或2<a<3时
M(a)=S(3－a)= (3－a)2+2
(ii)当3－a≥(a>0)即
时，
解得：1≤a≤2，这时
M(a)=S()=2－a·+3·－·
=－+
(iii)当3－a≤0；即a≥3时
M(a)=S(0)=2
综上所述得：
M（a）=