从一例谈求函数最值的常规方法与技巧.doc

投稿时间：2009.3.20 电话：[phone] 电子邮箱： htx3350596@
从一例谈求函数最值的常规方法与技巧
甘肃省高台县第一中 韩天禧 (邮编734300)
本文仅从一道短小精悍、结构精巧的题目出发，从多角度全方位着手，来梳理归纳求函数最值的常规方法与技巧,与您共商讨.
题目 已知 ,、 为大于零的常数，求 的最小值.
一、利用均值不等式求函数最值
1 使积定的代数技巧
解法一
. 即 当且仅当 , 时, 有最小值.
2 使积定的三角技巧
解法二 由 , 可设 , 其中 , 则 .

, 即当且仅当 = , , , 时, 有最小值.
3 使等号成立的技巧
解法三 设 , 由均值不等式得:
, 两式相加得, 保证等式成立的条件为
即 , 此时, 因此 当且仅当时, 有最小值.
二、利用向量求函数最值
解法四 设 , , 由 , 得:
, 当且仅当 , 即 时, 有最小值.
三、利用换元法求函数最值
1 代数换元技巧
解法五
当时, ,当且仅当等号成立;
当时, 令 , 由, 得 (或),
这样
由,, 等号成立条件为 , ,
得, 它在时也成立. 所以 有最小值.
2 三角换元技巧
解法六 由 , 令 , 则.
设, 再设 ，其中
得 ①, ②, 由①+②得, 又由, 得 所以 当且仅当时, 取得最大值1, 就有最小值为. 所以最小值为.
注 若①-② 得 , 由 , 无最值.
四、利用数形结合法求函数最值
1 把化归为直线坐标轴上的截距和的技巧
解法七 令, 可化为方程, 它表示过定点的直线, 它在轴与轴上的截距分别为,.由于==+, 说明几何意义是过定点的直线在两坐标轴上的截距和.
设过定点的直线方程为, 由于截距为正, 得 . 它在轴上的截距为, 在轴上的截距为, 则=, 当且仅当,时, 有最小值.
2 把化归为椭圆长、短半轴平方和的技巧
解法八 令, 可化为方程, 它表示过定点的椭圆,其中,由得=, 进而得. =
=
五、利用判别式法求函数最值,
解法九 , 可化为，由于, 得, 由该方程在上有实根,得
, 即 解得 , 因此的最小值为.
六、利用导数求函数最值
解法十 , 当, 得;
当 得 , 故 在处有最小值.
这道题构造精巧、新颖别致，颇有思考性、挑战性,求解入口宽,方法灵活多变。以上十种解法从多角度全方位来求解，其解法基本概括了求函数最值的常规方法与技巧，这种一题多解，对夯实双基,提升能力有事半功倍的效果。
盘点求最值方法与技巧
甘肃省高台县第一中 韩天禧 (邮编734300)
题目（2009天津卷理）设若的等比公项,则的最小值
A 8 B 4 C 1 D
解析 因为，所以.
1．均值不等式法
解法 1 （1的代换技巧）.当即时“=”成立，故选择C
解法 2 （1的三角代换技巧）由，令，，则.当,即时有最小值4.
解法 3 （均值不等式技巧）由,得，又.即时有最小值4.
解法4 (构造结论技巧) 由，得，，两式相加得.即时有最小值4.
2．向量法
解法5 设 , , 由 , 得：
.当 时,即时有最小值4.
3. 数形结合法
解法6. （构造两点间的距离技巧）记：外的一点P到直线的距离=它不大于P点到原点间的距离=，即，得.
解法7. （ 构造直线在坐标轴上的截距和技巧）令, 得，它表示定点在直线上, 该直线在轴与轴上的截距分别为,. 由于, 说明的几何意义是过定点的直线在两坐标轴上的截距和.设过定点的直线方程为, 由于截距为正, 得 . 它在轴上的截距为, 在轴上的截距为, 则.当时,即时有最小值4.
解法8. （构造椭圆长、短半轴平方和技巧）令得，它表示定点在椭圆上，该椭圆长半轴平方与短半轴平方分别为,.由于, 说明的几何意义是过定点的椭圆的长、短半轴平方和.由得, 又.故.当时,即时有最小值4.
4. 换元法
解法9 (变元增量技巧)由可知，.故设，，其中得，代入得.故.当时,即时有最小值4.
解法10 （三角换元技巧）由，令，，其中 设, 再设 ，其中 得 ①, ②,由①+②得, 又由, 得 所以 当且仅当时, 取得最大值1, 就有最小值为2，有最小值为4.
5. 判别式法
解法11 设,则代入得关于的一元二次方程, 其中,在上有实根得, 即 解得 .
6. 配方法
解法12 由，得,,.当时有最小值4.
7.导数法
解法13记，由，得,,，, 当,得；当 得 , 故 在时有最小值.
这道题构造精巧、新颖别致，颇有思考性、挑战性,求解入口宽,方法灵活多变。以上十三种解法从多角度全方位来求解，其解法基本概括了求函数最值的常规方法与技巧，这种一题多解，对夯实双基,提升能力有事半功倍的效果。
练习
1.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为
A. B. C. D. 4
2.（06上海春）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .
3.（08全国一10）若直线通过点，则
A． B． C． D ．
答案： 1. A； 2. 4； 3. D.

“七招”巧解一类最值
孟金梅 甘肃省高台县第一中学 （734300）
本文由一道高考题（07年山东卷）变式,从不同思维角度出发,对此类最值问题求解作以归纳,以供参考.
题目 已知且求的最值.
第一招 消元(将两个变量消去一个)
由得(,即)
所以 ,
当且仅当,即时等号成立,
故时,取得最小值16.
第二招 常数“1”的变换
因为且，
所以==，
当且仅当,即时等号成立,
由，解得
故时,取得最小值16.
第三招 三角换元
由可设，其中，
则
所以
=
当且仅当
即时,取得最小值16.
第四招 和差换元
由可设
则
所以==
= ==
当且仅当，此时 时,取得最小值16.
第五招 数形结合
L0
L1
L0
由得
作出函数的图像（如右），令
利用“线性规划”知识，平移直线至位置时，直线与曲线相切与点A，此时取得最小值.
由消去得，则，解得或.经检验不合题意舍去,故,此时A(4,12).
所以时,取得最小值16.
第六招 构造向量法,即利用向量性质(当且仅当与同向共线时等号成立)
由且，
设则

所以,由,
得 ,
即 ,
当且仅当,且,即时等号成立,
由，解得
故时,取得最小值16.
第七招 利用引例
引例 如果 那么，（当且仅当时等号成立）
由于
即
由，解得
故时,取得最小值16.
巩固练习: 1.已知求的最小值。
2.若 ，且的最小值。
（参考答案：1．，2. 18）

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