第四讲：幂函数、函数的图象与值域.doc

第四讲：幂函数、函数的图象与值域

【例1】
⑴若函数是偶函数，且在是减函数，则 ．

⑵直线与曲线有四个交点，则的取值范围是　　　　　　．

⑶函数的值域是　　　　　　．

⑷设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　．

【例2】已知幂函数是偶函数，且有区间上是减函数．
⑴求函数的解析式；
⑵讨论的奇偶性，其中．

【例3】已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．
⑴函数是否属于集合？说明理由；
⑵设函数，求的取值范围；
⑶设函数的图象与函数的图象有交点，证明：函数．

【例4】已知函数是定义域上的奇函数，其值域为．求的值．

【课堂演练】
1．函数的图象关于　　　　　对称．　　
2．幂函数过点，则　　　　　　．
3．求函数的值域．
4．已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是　　　　　．
5．已知为实数，函数在区间上的最大值为2，则实数　 　．
6．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为０；④在上为减函数．其中正确命题的序号为　　　
（注：将所有正确命题的序号都填上）　　　

7．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上函数值随的增大而减小，求满足的的取值范围．

8．对任意实数定义：，如果，，，那么函数是最大值等于　　　　．

第四讲：幂函数、函数的图象与值域

【例1】
⑴若函数是偶函数，且在是减函数，则 ．１或２
⑵直线与曲线有四个交点，则的取值范围是　　　　　　．
⑶函数的值域是　　　　　　．
⑷设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　．
解：在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，得．

【例2】已知幂函数是偶函数，且有区间上是减函数．
⑴求函数的解析式；
⑵讨论的奇偶性，其中．
解：⑴由题意得是偶数，且，解得，则．
⑵．当时，且时，不具有奇偶性；当时，且时，为奇函数；当时，且时，为偶函数；当时，且时，既是奇函数又是偶函数．

【例3】已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．
⑴函数是否属于集合？说明理由；
⑵设函数，求的取值范围；
⑶设函数的图象与函数的图象有交点，证明：函数．
解：⑴，此方程无实数解，∴．
⑵∵，∴有解，且．得，∴．
⑶∵，又设函数的图象与函数的图象交于点，则，∴．其中．
∴．
【例4】已知函数是定义域上的奇函数，其值域为．求的值．
解：∵的定义域为，∴．又∵为奇函数，∴对均成立．由此得．∵的定义域为，∴方程在上有解．当时，由，得．又的值域为，∴，得．当时，得，可知符合题意，∴，．

【课堂演练】
1．函数的图象关于　　　　　对称．　　轴
2．幂函数过点，则　　　　　　．
3．求函数的值域．
4．已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是　　　　　．
5．直线与曲线有四个交点，则的取值范围是　　　　．
6．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为０；④在上为减函数．其中正确命题的序号为　　　
（注：将所有正确命题的序号都填上）　　　　②③

7．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上函数值随的增大而减小，求满足的的取值范围．
解：由幂函数在上递减，则．解得，又，则，函数为偶函数，则．由，则，即解得．

8．对任意实数定义：，如果，，，那么函数是最大值等于　　　　．
解：由可知实际是求中的较小者．在同一坐标系内，作出，，的图象，可知所以函数是最大值为．