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锐角三角函数的应用复习
班级 姓名
教学目标:
使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。
教学重点、难点：
使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。
一．知识点
知识回顾解直角三角形应用的知识。
1．边与边关系：a2＋b2＝c2
2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°
3．边与角关系，sinA＝，cosA＝，tanA＝，
4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，
视线与水平线的夹角叫做仰角，
从上往下看，视线与水平线的夹角
叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，
∠2就是俯角。
坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度
与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，
读作i，即i＝，坡度通常用1:m的
形式，例如上图的1:2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，
坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

二、考点1　锐角三角函数、解直角三角形

【例1】（2016广东）如图1-6-3-1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是( )
线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是____________
考题再现
1. 如图1-6-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( )

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=　，则cosB的值是
3. 如图1-6-3-3，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA等于

4. 如图1-6-3-4，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cosC=_______.
考点演练
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（　　）

6. 如图1-6-3-5，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 （　）

7. △ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，cosA，tanA的值。
三、考点2　解直角三角形的应用
【例2】（2014广东）如图1-6-3-6，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A，B，D三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1 m）.（参考数据： ≈1.414，≈1.732）

思路点拨：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在Rt△BDC中，利用三角函数即可求解.
解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°.
∴∠A=∠ACB.
∴BC=AB=10（m）.
在Rt△BCD中，

答：这棵树CD的高度为8.7米.
考题再现
1.（2016六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15 m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图1-6-3-7，AD=24 m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°.（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1 m）
（1）求B，C间的距离.
（2）通过计算，判断此轿车是否超速.
解：（1）在Rt△ABD中，AD=24 m，∠B=31°，
∴tan31°= ，即BD= =40（m）.
在Rt△ACD中，AD=24 m，∠ACD=50°，
∴tan50°= ，即CD= =20（m）.
∴BC=BD-CD=40-20=20（m）.则B，C间的距离为20 m.
（2）根据题意，得
20÷2=10 m/s＜15 m/s，则此轿车没有超速.
答：此轿车没有超速.
2.（2014珠海）如图1-6-3-8，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处.
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）.（参考数据：
解：（1）如答图1-6-3-1，
过点M作MD⊥AB于点D.
∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°.
∵AM=180海里，
∴MD=AM·cos45°= （海里）.
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M间的最小距离是 海里.
（2）在Rt△DMB中，
∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°.
∵MD= 海里，

答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.
考点演练
3. 如图1-6-3-9，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα= 在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）

4. 如图1-6-3-10，甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变，求港口A与小岛C之间的距离.
考点点拨：
本考点的题型一般为解答题，难度中等.
解答本考点的有关题目，关键在于借助实际问题中的俯角、仰角或方向角等构造直角三角形并解直角三角形.
熟记以下解直角三角形的应用问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.
四、课堂巩固训练
1. 如图1-6-3-11，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）

2. 如图1-6-3-12，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则sinα的值是（　　）

3. 如图1-6-3-13，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC= 则BC的长是 （　　）
A. 4 cm B. 6 cm C.8 cm D. 10 cm

4. 如图1-6-3-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，tan∠ACD= ，AB=5，那么CD的长是________.
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB= 那么AB=________.
6. 如图1-6-3-15，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值.

7. 某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图1-6-3-16，某探测对在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4 m，求该生命迹象所在位置C的深度. （结果精确到1 m，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）

8. 如图1-6-3-17，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC=10 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.
（1）求坝底AD的长度（结果精确到1 m）；
（2）若坝长100 m，求建造这个大坝需要的土石料. （参考数据：

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