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第29课时 函数与方程小结与复习
【知识结构】
函数与方程
函数的零点
用二分法求方程的近似解

【学习目标】
1．了解函数的零点与方程根的关系；
2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；
3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．
【预学评价】
1．已知二次函数的最大值为8，且，则此二次函数的解析式为 .
【解】
2.已知关于x的方程的两个根为，且，则实数的取值范围为 .
【解】
3．已知，则方程的实根个数是 .
【解】
4.在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为 .
【解】
【经典范例一】
例1 已知二次函数的图象经过点三点，
（1）求的解析式；
（2）求的零点；
（3）比较，，，与的大小关系．
【解】（1）设函数解析式为，
由解得，
∴．
（2）令得或，
∴零点是．
（3） ，
，，．
例2 利用计算器，求方程的近似解（精确到）．
【解】设，通过观察函数的草图得：
，，
∴方程有一根在内，设为，
∵，∴，
又∵，∴，如此继续下去，得
，
，

∵精确到的近似值都为，所以方程的一个近似值都为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为．
【随堂练习一】
1．已知二次函数图像的顶点是，它的一个零点为2，求这个函数的解析式.
【解】
2．设函数，并在内给定一组值如下表:
x
－1
－0.75
－0.6875
－0.65625
－0.625
f (x)
－0.667
－0.124
－0.383
0.056
0.113
x
－0.5
－0.375
－0.25
－0.125
0
f (x)
0.327
0.823
0.697
0.851
1

⑴证明:函数在内至少有一个零点；
⑵根据表中提供的数据，用二分法求方程的近似解(精确到).
【解】（1）略；（2）
【经典范例二】
例3 已知函数的图象与轴在原点的右侧有交点，试确定实数的取值范围．
【解】（1）当时，与轴的交点为，符合题意；
（2）时，，
时，的图象是开口向下的抛物线，它与轴的两交点分别在原点的两侧；
时，的图象是开口向上的抛物线，必须，解得
综上可得的取值范围为
例4 讨论关于的方程（），当时解的个数。
【解】当或时，有一解
当或时，有两解
当或时，无解
【随堂练习二】
3．已知函数f(x)＝，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为 .
【解】由已知当x≤0时f(x)＝－x2＋bx＋c，由待定系数得：⇒故f(x)＝，令f(x)＋x＝0，分别解之得x1＝2，x2＝－1，x3＝－2，即函数共有三个零点.
4．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为 .
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]
【解】选C.代入可知，只有f()·f()<0，所以函数的零点在区间[，]上．
5．若函数有零点，求实数的范围。
【解】
【分层训练】
1．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是 ____．
【解】由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间为[2,2.5]．
2．若函数的零点是，那么方程的解是 .
【解】
3．若关于x的方程的两根同号，则实数的取值范围是 .
【解】
4．若方程的解为，则满足的最大整数 ．
【解】2
5．若二次函数的两个零点满足，则实数 .
【解】2
6．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：

根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到）为 .
【解】
7．关于的一元二次方程有两个实根，其中一个小于，另一个大于，求实数的取值范围.
【解】
8．关于的方程至少有一个小于的实根，求的取值范围.
【解】设，当两个实根都小于时，，
得；当两个实根一个小于，另一个不小于时，
或，∴或.
综上，.
9.已知二次函数的二次项系数为，且有两个零点.
⑴若关于x的方程有两个相等的根，求的解析式；
⑵若的最小值为负数，求的取值范围.
【解】（1）或
（2）
10．已知函数（为不小于零的整数）的图像与轴的交点在原点两侧，求这个函数的解析式。
【解】
【师生互动】

学生质疑

老师释疑