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反比例函数与几何综合

中考要求

内容
基本要求
略高要求
较高要求
反比例函数
能结合具体问题了解反比例函数的意义；
能画出反比例函数的图象；
理解反比例函数的性质
会根据已知条件确定反比例函数的解析式；
能用反比例函数的知识解决有关问题
能用反比例函数解决某些实际问题

知识点睛

一、反比例函数的定义

函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．

二、反比例函数的图象

反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．

三、反比例函数的性质

反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．

注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．

四、反比例函数解析式的求法
反比例函数的解析式中，只有一个系数，确定了的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组、的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．

五、比例系数的几何意义

过反比例函数，图象上一点，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、点组成一个矩形，矩形的面积.

例题精讲

一、反比例函数与几何综合

【例1】 已知点(，)在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是对角线的
中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标.

【例2】 如图，点(，)，(，)都在反比例函数的图象上．
（1）求，的值；
（2）如果为轴上一点，为轴上一点，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．

【例3】 如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、、都在轴上，求点的坐标.

【例4】 如图所示，，……，在函数的图象上，，，，…，，…都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则______________．

【例5】 如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.

【例6】 已知：等腰三角形在直角坐标系中的位置如图，点的坐标为，点的坐标为．
（1）若三角形关于轴的轴对称图形是三角形，请直接写出、的对称点、的坐标；
（2）若将三角形沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；
（3）若三角形绕点按逆时针方向旋转度()．当=时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值．

【例7】 过原点作直线交双曲线()于点、，过、分别作两坐标轴的平行线，围成矩形
，如图所示．
⑴知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；
⑵若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．

【例8】 如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数(，)的图像上，点(，)为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为．
⑴求点的坐标和的值；
⑵当时，求点坐标；
⑶写出关于的函数关系式．

【例9】 已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支．
⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？
⑵若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式．

【例10】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①与的面积相等；
②四边形的面积不会发生变化；
③与始终相等；
④当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

【例11】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，动点
在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．
⑴求证：四边形的面积是定值；
⑵当时，求的值；
⑶若点的坐标为，的面积分别记为、，设．
①求的值；
②当为何值时，有最大值，最大值为多少？

【例12】 如图，点、在反比例函数()的图象上，且点、的横坐标分别为和()轴，垂足为，的面积为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(，)，(，)也在反比例函数的图象上，试比较与的大小；
（3）求的面积．

【例13】 已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例14】 如图，反比例函数的图象过矩形的顶点，、分别在轴、轴的正半轴上，．
（1）设矩形的对角线交于点，求出点的坐标；
（2）若直线平分矩形面积，求的值．

【例15】 若一次函数和反比例函数的图象都经过点（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点的坐标；
（3）利用（2）的结果，若点的坐标为（2，0），且以点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点的坐标．

【例16】 如图，点，都在反比例函数的图象上．
（1）求的值；
（2）如果为轴上一点，为轴上一点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．

【例17】 已知与是反比例函数图象上的两个点．
（1）求的值；
（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例18】 如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形的顶点在这个一次函数图象上，顶点在这个反比例函数图象上，两底，与轴平行，且和的横坐标分别为和，求的值。

【例19】 反比例函数和一次函数，其中一次函数图像经过，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出两函数的交点的坐标．在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，把符合条件的点的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

【例20】 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例21】 如图，如果函数与的图像交于，两点，过点作垂直于轴，垂足为点，求的面积.

【例22】 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．

【例23】 正比例函数()与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于，连结，若的面积为，求．

【例24】 将直线向左平移个单位长度后得到直线，如图，直线与反比例函数的图象相交于，与轴相交于，则_____________．

【例25】 已知：等腰三角形在直角坐标系中的位置如图，点的坐标为，点的坐标为．
（1）若三角形关于轴的轴对称图形是三角形，请直接写出、的对称点、的坐标；
（2）若将三角形沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；
（3）若三角形绕点按逆时针方向旋转度（）．当=时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值．

【例26】 如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求的面积．

【例27】 如图，在直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积．

【例28】 如图，已知的顶点是一次函数与反比例函数的图像在第一象限内的交点，且．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
（2）如果线段的延长线与反比例函数的图像的另一支交于点，过作轴于，那么的面积与的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断为何特殊三角形，并证明你的结论．

【例29】 如图所示，设反比例函数的两支为，正三角形三个顶点位于此反比例函数的图象上．
（1）求证：不能都在反比例函数的同一支上．
（2）设在上，在上，求顶点的坐标．

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