二次函数（复习）.doc

初三数学 第5章二次函数
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知识点
一、理解二次函数与抛物线的数形关系
1．已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是 （　　）

2．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是　 　．
二、确定二次函数解析式
3．设抛物线过A(0，2)， B(4，3)，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　　 　　 ．
4．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

三、了解函数与方程、不等式的关系，并会用图像法解方程、不等式
5．“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=0
有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m<n）是关于x的方程
的两根，且a < b， 则a、b、m、n 的大小关系是 （　　）
A．m < a < b< n B．a < m < n < b C．a < m < b< n D．m < a < n < b
6．二次函数的图象如上图，对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在
的范围内有解，则的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

四、二次函数图像的平移、旋转
8．已知抛物线C:经过A（－3，0）和B（0，3）两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴于x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴于x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），．
①写出C点的坐标：C（ ， ）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

五、利用抛物线的性质解决实际问题
10．受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装
厂每件衣服原材料的成本（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本（元）与月份x的函数关
系式为=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
(1) 请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求与x的函数关系式．
(2) 若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量
（万件）与月份x满足关系式=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月的销售量（万件）
与月份x满足关系式=－0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？求出最大利润．

11．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2，已知 球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？

课后练习
1．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点 （　　）
A．（－1，－1） B．（1，－1） C．（－1，1） D．（1，1）
2．已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是 （　　）
A．－10.5 B．2 C．－2.5 D．－6
3．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　　）
A．（－3，7） B．（－1，7） C．（－4，10） D．（0，10）
4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为　 　（用含a的式子表示）．

5．已知抛物线y=x2－k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是________ ．
6．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a－b=0；②a+b+c＞0；③c=－3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．其中正确的结论是 ____________．（只填序号）
7．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

8．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

9．已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）．
（1）求此二次函数关系式；
（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OG∥BE．

10．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为顶点，求出该定点坐标．

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