二次函数图象第一课时.doc

课题名称： 19.2 二次函数的图象（1）
教师姓名： 李鑫亚
学校：北京师范大学第四附属中学
教学背景分析
（一）学习内容分析
函数是中学数学数与代数领域内的重要内容，在初中阶段，学生通过对函数表达式和函数图象的研究，初步了解函数的性质，其中函数图象是对函数关系的直观表现.“二次函数的图象”是北京市义务教育教科书数学九年级上册第十九章 《二次函数》的一节重要内容，是在学生学习了函数图象的画法、一次函数有关内容、以及二次函数概念的基础上，进一步研究二次函数的图象.本节课是学生研究二次函数图象的第一课时，是二次函数一章的核心内容，是后续研究二次函数其他表达式图象以及研究二次函数性质的基础；同时，由于函数的学习联系性强，所以学好本节课，可以帮助学生进一步丰富研究函数的内容和方法，为今后的函数学习奠定基础.

本节课以程序性知识为主要目标，根据程序性知识的教学要求，存在以下必要的教学环节：注意与预期、激活原有知识、选择性知觉、新知识纳入原有命题网络、认知结构重建与改组、根据线索提炼方法、知识转化为技能、技能在新的情境中应用.

（二）学生情况分析
课前活动 提取与回忆——研究一次函数图象的过程
为了更好地了解学生情况，课前对学生进行了前期调查：
1.上学期，我们已经学习了“函数图象的画法”与“一次函数的图象”两节课，请你总结画函数图象的方法步骤以及注意事项.
2.请你在下面的坐标纸中，尝试画出的图象
【问题1 调查目的】了解学生是否能够正确理解画函数图象的方法
【问题1 典型作答】

【问题1 统计结果】 有92%的学生能够说出“列表，描点，连线”；
有14.29%的学生认为“用直尺连接点”、“取两个点”、“连成一条直线”.
【问题1 结果分析】通过八年级的学习，学生虽然经历了画一次函数图象，但只机械的记住画一次函数图象的步骤和要求，对知识的理解还留在表层，没有将画函数图象提升到方法层面，这对他们今后的学习是不利的. 所以在课前，我针对部分学生的问题采取小组合作的方式由学生共同复习，并组织全班开展讨论；对仍有疑问的同学进行单独辅导，对于他们心中的疑惑耐心解答，最终全班对函数图象的画法有所回忆.
观察一次函数表达式的特点
列表，选取多个点
描点，连线
发现图象是一条直线
采用“两点法”

【问题2 调查目的】 了解学生学习本节课之前，是否能够借鉴八年级的学习方法和经验，尝试画出二次函数的图象，为本节课的学习做好铺垫.

【问题2 典型作答】

【问题2 统计结果】

【问题2 结果分析】由于二次函数的图象结构复杂，具有自身的特殊性，学生的相关学习经验也比较有限，特别对二次函数是一条平滑的曲线的理解存在障碍，所以有将近55%的学生把二次函数的图象画成了直线或折线，针对这部分学生的问题本节课除了要作图过程明确规范外，还要设计学生活动，帮助他们理解平滑曲线的的含义；另外有44.38%的把的图象画成曲线，但大部分作图不准确，所以针对这部分学生的问题，在课上引导他们动手参与，继续完善的图象.最终全班同学在“理性思维”、“批判质疑”、“动手实践”的过程中，会画二次函数的图象，并进一步理解画函数图象的方法.

（三）教学准备
PPT演示课件、几何画板软件、坐标纸、图形计算器．
教学目标
1. 会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数表达式中a对图象的影响.
2. 在参与观察、实验、猜想、验证等数学活动的过程中，进一步掌握画函数图象的方法，积累研究函数的数学活动经验，提高归纳概括的能力.
3. 在正确理解平滑曲线的过程中，进一步养成理性思维、批判质疑的学习习惯.
教学重点和难点
教学重点：画二次函数的图象.
教学难点：正确理解二次函数 的图象是一条平滑曲线.
教学方法
教学内容与程序性知识的教学环节相融合，设计了6个学习活动（课前1个活动、课上5个活动），每个活动以小组合作探究和师生共同探究展开.
认知活动运行结构图
本节课以程序性知识为主要目标，故进行如何设计：

教学过程
教学环节
师生活动
设计意图

明确任务

新课
导入

教师点评课前调查问卷，引出新课：
二次函数概念
二次函数图象
二次函数性质
二次函数应用

今天我们继续研究二次函数的图象.课前同学们已经尝试画出的图象，老师统计结果时发现同学们画的图象集中在如下5种，其中图象（1）（2）是一类，共同特征是把图象描绘成直线；图象（3）（4）（5）是另一类，共同特征是图象的形状大致相同.本节课我们就一起来探究的图象.

图象（1） 图象（2）

图象（3） 图象（4） 图象（5）

上一节课，类比一次函数的学习学生已经了解了今后学习二次函数的主要内容.本节课在上一节课的基础上开始研究二次函数的图象.通过公布课前调查结果引入新课，学生明确本节课学习任务.

探索
问题

学习
新知
活动1 反思与质疑——判断是否为“直线”
多媒体出示调查问卷中学生画的“直线”并提问：请同学们以小组为单位，讨论图象（1）、（2）是否能代表的图象？你的理由是什么？
教师明示小组活动要求：1.组长组织本组同学有序发言；2.有人发言时认真聆听，不得随意打断；3.存在分歧无法解决时，搁置争议，讨论结束后由全班共同解决；4.记录员统计梳理本组的发言，记录在学案上；5.汇报时大胆发言，自由表达本组观点.
小组活动卡
组长： 小组成员：
本小组结论：认同 不认同 暂无结论
本小组的观点：理由①
理由②
理由③
理由④
……

预案1：图象（1）没有过（0,0），图象（2）没有过（1,1）；
预案2：图象（1）（2）对应的应该是一次函数的表达式；
预案3：图象（1）（2）的图象经过了第三、四象限.
在学生发言的基础上，教师进一步总结：图象（1）（2）不是的图象，可以从数和形两个角度进行解释：
1.由于，所以的图象应分布在第一、二象限，图象（1）（2）的图象经过了第三、四象限，所以不可能是的图象.
2.一次函数的图象为直线，所以图象（1）（2）对应的应该是一次函数关系，显然不是一次函数，所以图象也应该是非直线.
【问题1】活动1的基础上教师进一步提问：既然的图象不是一条直线，那么它的图象应该具有哪些特征？
学生发言归纳，将表达式特征与图象特征联系起来：
表达式特征
图象特征

∴y≥0（x取任意实数）
图象应该在x轴上方（图象分布在第一、二象限）

∴当x取相反数时，y值相同
图象关于y轴对称

教师小结：画函数图象时，我们先要观察表达式特点，这样有助于我们分析函数的大致分布.分析表达式我们可以得到，的图象有三个特征：经过原点，分布在第一、二象限，与y轴对称.

活动2 解释与说明——的图象是抛物线

图象（3） 图象（4） 图象（5）
教师继续出示其他三个图象： 通过刚才的活动我们知道了的图象不是直线，那么上述三个图象是否是的图象呢？
【问题1】请画图象（3）（4）的同学回答，你是如何作图的？
预案：选点（-3，-9），（-2，-4），（-1,1），（0,0）（1,1），（2,4），（3,9）六个点，用折线将他们连接起来.
【问题2】其他同学同意他的观点吗？教师用图形计算器开展调查，并有请学生代表发言，说出投票的理由.

学生自由表达观点，教师引导学生给出合理解释：如果O（0,0）、A（1,1）用线段直接连接，根据两点确定一条直线，那么直线OA对应的是一次函数关系.例如，我们取OA中点B，易得B（）；把x=带入中，可以得到，所以B（）不在的图象上.

【问题3】线段OA上的其他点是否在的图象上呢？请同学们用图形计算器验证.
学生独立用图形计算器完成验证，教师进行巡视，大部分同学完成后1-2名学生代表讲解验证方法和验证结果.
在学生验证的基础上教师进一步小结：1.如果两点用线段直接连接，根据两点确定一条直线，那么这一段所对应的表达式应该是一次函数；2.在线段上，除了两个端点之外的所有点的坐标，都不满足表达式，所以他们都不在的图象上，所以的图象应该是一条平滑曲线.
【问题4】应该如何修改图象（3）（4）？如何避免作图不准确的问题呢？
图象（3）（4）应该按从左到右的顺序用平滑曲线连接；当函数图象走势不清晰时应密集取点.
教师在黑板上示范画的图象，并提醒学生要注意-1到0和0到1之间图象的变化趋势，以及最远端的变化趋势，组织学生用图形计算器放大单位长，帮助学生观察图象的变化趋势.学生没有疑问后开始修改课前作业.
教师再次强调：
（1）的图象是通过原点，分布在第一、二象限，且以y轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线.它与对称轴的交点（0,0）叫做抛物线的顶点.
（2）如果不能清晰的了解函数图象的走势，需要密集取点；点的个数越多，越密集，所画的图象越准确.
【问题5】画的图象都经历了哪些过程？
教师进一步与学生共同小结：
观察表达式的特点
列表，取点
描点，按从左到右的顺序用平滑曲线连接
不能清晰的了解函数图象的走势

展示学生前期调查问卷结果，学生可以清晰的认识到全班同学回答的情况，为接下来的教学做好铺垫.

通过开展小组活动学生自主发现为一条非直线，从而进一步引导学生关注画函数图象的思维起点：先观察表达式的结构特征，想象图象的分布和走向.

通过活动1学生否定的图象为直线；从而关注表达式的特点，得到图象的特征.

借助几何画板和图形计算器，帮助学生理解O、A两点不能用线段直接连接

通过回顾反思，进一步明确画函数图象的方法；修改的图象，落实本节课内容

帮助同学回顾画的过程，初步形成画函数图象的一般方法

例题
精讲

巩固
新知

活动3 执行与实施——巩固练习
【例1】分别在同一坐标纸中作出下列函数的图象：
第一组：（1） （2）
第二组：（1） （2）
第三组：（1） （2）
学生分组练习作图，教师巡视.学生完成后，用实物投影展示部分学生的作业，师生共同点评，纠正画图中的问题，及时给予鼓励.几何画板展示标准作图.

活动4 抽象与概括——探究a对图象的影响
【问题1】从表达式上观察每组函数有什么共同点和不同点？这些特点在图象上是怎么反映的？
通过对练习中三组图象的观察，学生容易得出：
a对二次函数图象的开口方向和开口大小有影响.
【问题2】是不是所有的二次函数的图象都具有这样的特征呢？
学生用图形计算器赋予a不同的值，观察所得到的不同的二次函数的特征，进一步验证猜想的正确性.
教师在学生猜想的基础上进一步总结：
a取不同的值时，二次函数的图象都是经过原点，以y轴为对称轴的抛物线，并且当a取不同的值时，能引起抛物线开口方向和开口大小的改变：
当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下.
【拓展阅读】我们已经知道了的图象为一条抛物线，同学们想了解谁是第一个发现抛物线的吗？请同学们一起与老师回到两千年前：古希腊数学家阿波罗尼采用切割圆锥的方法来研究几种曲线.在他所著的《圆锥曲线》一书中提到，用一个与圆锥母线平行的平面去截圆锥，得到的平面的轮廓叫做抛物线.

通过巩固练习的教学，进一步落实学生画的技能，同时也为探究a的作用打下基础

.

引导学生观察、猜想a的作用；学生用图形计算器进一步验证猜想.

通过对抛物线发现的故事的介绍，开阔学生的眼界，培养学生的创新意识.

课堂
小结

体验
收获

活动5 总结与评价——梳理知识，形成方法

学生独立填写反思卡，然后自由发言：
反思卡
本节课——
我学会了：

使我感触最深的是：

我感到最困难的是：

结合学生所述，教师给予评价和指导：
在知识上本节课学习了：
1. 二次函数的图象都是一条经过原点，以y轴为对称轴的抛物线；
2. 当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下.

在思想方法上：
1. 画二次函数图象的方法；
2. 通过对比前期调查结果，同学们不断反思、质疑，逐步修正的图象，充分体现了核心素养中“理性思维”、“批判质疑”、“勇于探究”的要求.

最后教师进一步总结提升：研究函数图象的一般方法

梳理知识、形成方法，教师适时补充，提升认识．

布置
作业
巩固
知识

基础题：课本第42页练习1、2
提高题：继续探究二次函数的图象

布置不同层次的作业，让不同学生都能有所提高.
教学设计的说明
本节课是一节函数图象画法课，具有有以下特点：
1.基于“认知”，尊重学生
本节课以认知领域目标理论为依据，注重新旧知识间的联系，根据程序性知识的教学要求，设计符合学生认知规律的教学活动，在课前对学生进行课前调查，了解了他们对一次函数相关知识的掌握情况，同时也发现了学生对画函数图象存在的误区与障碍；在课上设计5个教学活动，引导学生不断质疑反思，并逐渐认识的图象是一条平滑曲线，并进一步理解了画函数图象的方法.
2.技术支持，突破难点
合理使用现代科学技术.在教学中，我根据实际教学情况合理的运用图形计算器，学生在动手操作中深入探究，加深理解，突破难点.
板书设计
课题
1.的图象

2.a对图象的影响

多媒体

12