复合函数单调性.doc

复合函数的概念及复合函数的单调性
一、知识点内容和要求：
理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间
二、教学过程设计
　　（一）复习函数的单调性
引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？
　　（二）新课
　　1、复合函数的概念
　　如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]
　　叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
　　例如：函数是由复合而成立。
　　 函数是由复合而成立，a是中间变量。
　　2、复合函数单调性
　　由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
　　对任意，
　　当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
　　∵当a＞1时，
　　∵y=f（u）是上的递减函数 ∴
　　∴
　　∴是单调递减函数
　　类似地，
　　当0＜a＜1时，
　　是单调递增函数
　　一般地，
　　定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
　　有以下四种情况：
　　（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；
　　（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
　　（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
　　（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
　　即：同增异减。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

　　例1、讨论函数的单调性
　　（1）（2）
　　解：①
　　又是减函数
　　∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
　　②x∈（-1，3）
　　令
　　∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
　　∵是增函数
　　∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
　　注意：要求定义域

　　练习：求下列函数的单调区间。
　　1、（1）减区间，增区间；
　　（3）减区间，增区间；
　　（4）减区间，增函数。
　　2、已知求g（x）的单调区间。
　　提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）
　　的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

　　例3、确定函数的单调区间。
　　提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。
　　函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）
　　函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。
　　作业：1、求下列函数的单调区间。

　　2、求函数的递减区间。
　3、讨论下列函数的单调性。
　　（1）
　　答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）
　　2、[，2] 3、（-∞，-2）
　　4、（1）在上是增函数，在上是减函数；
　　（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
4