函数的图象与性质.doc

函数的图象和性质
一、填空题
1．设函数f(x)＝的定义域为集合A，则集合A∩Z中元素的个数是________．
2．(2012·南京学情调研)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x，则f(－4)的值是________．
3．(2012·扬州质检)定义符号函数sgn x＝，则不等式：x＋2＞(2x－1)sgn x的解集是________．
4．(2012·天一、淮阴、海门中学调研)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
5．(2012·苏州模拟，5)已知a＝20.5，b＝2.10.5，c＝log21.5，则a，b，c的大小关系是________．
6．(2012·苏州模拟，6)设函数f(x)＝，则f(f(－1))＝________.
7．设函数y＝f(x)的定义域是R，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝，给出函数f(x)＝－x2＋2，若对于任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的取值范围是________．
8．二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，又f(x)是[0,3]上的增函数，且f(a)≥f(0)，那么实数a的取值范围是________．
9．(2011·苏北四市调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2 011|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2 011|(x∈R)且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)，则满足条件的所有整数a的和是________．
10．(2012·常州调研，10)对于函数y＝f(x)(x∈R)，给出下列命题：
(1)在同一直角坐标系中，函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于直线x＝0对称；
(2)若f(1－x)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
(3)若f(1＋x)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)是周期函数；
(4)若f(1－x)＝－f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称．
其中所有正确命题的序号是________．
二、解答题

11．(2012·苏州模拟)已知函数f(x)＝，若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)记y＝g(x)的定义域为A，不等式x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0的解集为B.若A是B的真子集，求a的取值范围．

12．(2011·苏州模拟)已知函数f(x)＝·(ax－a－x)(a>0，且a≠1)．
(1)判断f(x)的单调性；
(2)验证性质f(－x)＝－f(x)，当x∈(－1,1)时，并应用该性质求f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的范围．

13．(2012·无锡调研)定义在R上的单调函数y＝f(x)满足f(2)＝3，且对任意x，y
∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)试求f(0)的值并证明函数y＝f(x)为奇函数；
(2)若f(m·3x)＋f(3x－9x)＜3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

14．(2012·阜宁调研)已知函数f(x)＝x3－3|x－a|＋λ·sin(π·x)，其中α，λ∈R.
(1)当a＝0时，求f(1)的值并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)当a＝0时，若函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线经过坐标原点，求λ的值；
(3)当λ＝0时，求函数f(x)在[0,2]上的最小值．

参考答案：
训练1　函数的图象和性质
1．解析　要使函数f(x)＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以集合A＝[－3,1]，故A∩Z＝{－3，－2，－1，0,1}，有5个元素．
答案　5
2．解析　因为函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x，所以f(－4)＝－f(4)＝－4＝－2.
答案　－2
3．解析　由条件可得x＋2＞(2x－1)sgn x⇔或或，解得0＜x＜3或x＝0或－＜x＜0，所以原不等式的解集为{x|－＜x＜3}．
答案　{x|－＜x＜3}
4．解析　因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.
答案　2
5．解析　因为y＝x0.5，x∈(0，＋∞)是增函数，所以b＝2.10.5＞a＝20.5＞1，又由对数函数性质可知c＝log21.5＜log＝1，所以a，b，c的大小关系是b＞a＞c.
答案　b＞a＞c
6．解析　由题意可得f(－1)＝32＝9，所以f(f(－1))＝f(9)＝f(8)＝…＝f(0)＝3.
答案　3
7．解析　∵fK(x)＝f(x)恒成立，∴f(x)≤K恒成立，∴K≥[f(x)]max，又f(x)＝－x2＋2的最大值是2，∴k≥2.
答案　[2，＋∞)
8．解析　因为f(3＋x)＝f(3－x)，所以y＝f(x)关于x＝3对称，又因为f(x)是[0,3]上的增函数．所以f(x)是[3,6]上的减函数，又因为f(a)≥f(0)，所以0≤a≤6.
答案　[0,6]
9．解析　原有函数结构直接简化为f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不改变问题本质，f(x)为偶函数，且在－1≤x≤1时，f(x)函数值始终为2，∴当f(a2－3a＋2)＝f(a－1)时，可能情形有：a2－3a＋2＝a－1或a2－3a＋2＝1－a或从而整数a可有1,2,3，其和为6.
答案　6
10．解析　(1)错，例如y＝x；
(2)错，关于直线x＝0对称；
(3)对，令x＋1＝t，则f(t)＝f(t－2)，∴周期为2.
(4)对，令1－x＝t，则f(t)＝－f(－t)，为奇函数．
综上，正确命题为(3)和(4)．
答案　(3)(4)
11．解　(1)在函数y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则P关于原点的对称点P′(－x，－y)在y＝f(x)的图象上，
则－y＝ ＝ ⇒g(x)＝－
(2)由－≥0⇒－1＜x≤－，即A＝
x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0⇒a－1≤x≤a，即B＝[a－1，a]
因为A是B的真子集，故得－≤a≤0
所以a的取值范围为[－，0]．
12．解　(1)设x1<x2，x1－x2<0,1＋>0.
若a>1，则ax1<ax2，>0，所以f(x1)－f(x2)＝·(ax1－ax2)·<0，
即f(x1)<f(x2)，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
同理，若0<a<1，则ax1>ax2，<0，
f(x1)－f(x2)＝(ax1－ax2)·<0，
即f(x1)<f(x2)，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
综上，f(x)在R上为增函数．
(2)f(x)＝(ax－a－x)，
则f(－x)＝(a－x－ax)，显然f(－x)＝－f(x)．
f(1－m)＋f(1－m2)<0，即f(1－m)<－f(1－m2)⇔f(1－m)<f(m2－1)，函数为增函数，且x∈(－1,1)，
故解－1<1－m<m2－1<1，可得1<m<.
所以实数m的取值范围是(1，)．
13．解　(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，①
令x＝y＝0，代入①式，得
f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．
(2)∵f(2)＝3，即f(2)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，∴f(x)在R上是增函数，
∵f(m·3x)＋f(3x－9x)＜3，可化为：f[(m＋1)·3x－9x]＜f(2)，
∴(m＋1)3x－9x＜2对任意x∈R恒成立．
即9x－(m＋1)3x＋2＞0对任意x∈R恒成立．
令t＝3x，则t＞0，
问题等价于：t2－(1＋m)t＋2＞0在(0，＋∞)上恒成立，
令g(t)＝t2－(m＋1)t＋2，其对称轴方程为t＝，
当＜0，即m＜－1时，g(t)在(0，＋∞)上递增且g(0)＝2＞0，
∴m＜－1满足题意．
当≥0时，即m≥－1时g(t)min＝g＞0，
∴－1≤m＜2－1.
综上所述，实数m的取值范围为m＜2－1，
注：本题第(2)小问中，亦可用参变分离法：
t2－(1＋m)t＋2＞0在(0，＋∞)上恒成立，
可化为：m＋1＜t＋在(0，＋∞)上恒成立，
令g(t)＝t＋(t＞0)，则g(t)≥2 ＝2，
∴m＜2－1，
综上所述，实数m的取值范围为m＜2－1.
14．解　(1)a＝0时，f(x)＝x3－3|x|＋λ·sin(π·x)，
f(－1)＝－4f(1)＝－2，
∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，∴f(x)是非奇非偶函数．
(2)x＞0时f(x)＝x3－3x＋λsin(πx)，
∴f′(x)＝3x2－3＋λπcos(πx)，∴在x＝1处的切线方程为y＋2＝－λπ(x－1)，∵过原点，∴λ＝.
(3)①当a≤0时，x∈[0,2]时，f(x)＝x3－3x＋3a，
f′(x)＝3x2－3，
∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，∴ymin＝f(1)＝3a－2.
②当a≥2时，x∈[0,2]时，f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3＞0，∴f(x)单调递增，ymin＝f(0)＝－3a.
③当0＜a＜2时，f(x)＝
当0≤x＜a时，f′(x)＝3x2＋3＞0，∴f(x)单调递增，ymin＝f(0)＝－3a，
当a≤x≤2时，f′(x)＝3x2－3，∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，
∴若0＜a≤1，则ymin＝f(1)＝3a－2，当1＜a＜2时ymin＝f(a)＝a3，
而0＜a≤1时，3a－2－(－3a)＝6a－2，∴x∈[0,2]时，
ymin＝
同样1＜a＜2时，∵a3＞－3a，∴ymin＝f(0)＝－3a，
综上：a≤时，ymin＝f(1)＝3a－2；a＞时，ymin＝f(0)＝－3a.
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