第八讲三角函数的图像与性质.doc

三角函数的图像与性质
【基础回顾】
一、基础知识：
（一）.三角函数图象的作法：1．几何法（利用三角函数线）；2．描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）；3．利用图象变换作三角函数图象．
（二）三角函数的图象和性质
函
数
性
质

定义域

图 象

值 域

奇偶性

对称性
对称轴：__________

对称中心：________

对称轴：__________

对称中心：________

对称中心：_______
周 期

单调性
单调增区间：
_____________________
单调减区间：
_____________________
单调增区间：
___________________
单调减区间：
___________________

单调增区间：
_________________

最值

时
;
时

时
;
时

无最值
（三）的图象和性质
1．用“五点法”作或的图象时，五点的横坐标总由=________、________、_______、__________、________来确定．
2．的图象可由的图象经过_________变换、__________变换和_______________变换得到．
3．当函数表示一个简谐运动时，则A叫做______，T=叫做_______，叫做________，叫做_______，叫做________．
（四）的图象变换：
1.图象变换：
(1)相位变换：→，把图象上所有的点向__或向____平移_____个单位；
(2)周期变换：→把图象上各点横坐标变为原来的_________倍；
(3)振幅变换：→把图象上各点的纵坐标变为原来的__________倍．
2.变换过程：函数，其中的图象可以由的图象经过如下变换得到：
(1) 先相位后周期： →→→；
(2) 先周期后相位：
→→=→；
（五）的奇偶性：要判断形如或的函数的奇偶性，应先把函数化为或的形式．是奇函数__________，是偶函数_________．是奇函数_____________，是偶函数____________．
（六）周期函数：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）函数或，且为常数的周期，函数的周期．
二、基础达标：
1．(2011·宿迁模拟)已知函数y＝f(x) (x∈[0,2π])的导函数y＝f′(x)的图象，如图所示，则y＝f(x)的单调递增区间为________．

2．(2011·常州模拟)已知函数f(x)＝2sin(x＋)，x∈[0，]，则f(x)的值域是________．
3．设函数y＝sin(x＋)，若对任意x∈R，存在x1，x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是________．
4．sin1、sin2、sin3的大小关系是________．

5．函数y＝sinxcosx＋cos2x的图象的一个对称中心是_____．
【典型例题】
例题1：(1)已知函数y＝2sin(2x＋)．
① 求它的振幅、周期、初相；
② 用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
③ 说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．

例题2：求下列函数的最大值和最小值．
(1)y＝acosx＋b；
(2)y＝2cos(2x＋)＋1，x∈[0，]；
(3)y＝3cos2x－4sinx＋1.

例题3：已知向量a＝(sinx,2sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝a·b－.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ)(0<θ<)为偶函数，求θ的值．

例题4：如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车第一次到达最高点时用的时间．

【巩固练习】
1．(2010·辽宁高考)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
2．已知函数f(x)＝Asinωx(ω>0)的最大值为2，最小正周期为8，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)的值等于________．
3．(2011·连云港模拟)若f(x)＝asinx＋3cosx是偶函数，则实数a＝________.
4．(2011·福州模拟)已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos2x的图象向________平移________个单位．
5． (2010·南通模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y＝b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x)的单调递增区间是________．
6．已知O为坐标原点,＝(2sin2x,1)，＝(1，－2sinxcosx＋1)，f(x)＝·
则y＝f(x)的单调递增区间为_____________________.
7．M，N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为 ________．
8． (2011·广州模拟)关于函数f(x)＝sin(2x－)，有下列命题
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋)；
②直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴；
③f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向右平移个单位得到；
④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立．
则其中真命题的序号为________．
9．给出下列命题：
①函数y＝cos(x＋)是奇函数；
②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；
③若是第一象限角且＜,则tan＜tan；
④函数y＝sin(2x＋)的图象关于点(，0)成中心对称图形．
其中正确的序号为________．
10．定义一种运算令且，则函数的最大值是______________.
11．已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，cos)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递减区间，并在给出的方格纸上用五点作图法作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)求证：函数f(x)的图象在区间[－，]上不存在与直线y＝x平行的切线．

12．（福建高考）已知函数其中，．
（I）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．

13. 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)，
下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b(ω>0)的最小正周期T，振幅A及函数表达式．
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

14．设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）已知常数＞0，若y=f()在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）设集合A=，B={x||f(x)-m|＜2},若AB，求实数m的取值范围.

【拓展提高】
★1．(山东高考)函数，的图象是___________________．
y
x

O
y
x

O
y
x

O
y
x

O
(1)
(2)
(3)
(4)

★2．已知，函数当时，.
（1）求常数的值；
（2）设，且，求的单调区间．

【总结反思】

三角函数的图像与性质
【基础回顾】
1. 解析：由图象知在(0，π)上f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在[0，π]上单调递增．
答案：[0，π]
2．解析：∵0≤x≤，∴≤x＋≤，∴≤sin(x＋)≤1，∴≤f(x)≤2.
答案：[，2]
3．解析：由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，可得f(x1 )为最小值，f(x2)为最大值，|x1－x2|的最小值为半个周期．
答案：2
4．解析：∵<2<π－1<3<π，且函数y＝sinx在[，π]上为减函数，
∴sin2>sin(π－1)>sin3
即sin2>sin1>sin3.
答案：sin2>sin1>sin3
5．解析：由题可知，函数y＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋，令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋kπ，k∈Z，所以函数图象的对称中心为(－＋kπ，)，k∈Z，当k＝1时，对称中心为(，)．
答案：(－＋kπ，)，k∈Z
【典型例题】
例题1：[自主解答]　 ① y＝2sin(2x＋)的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
②令X＝2x＋，则y＝2sin(2x＋)＝2sinX.
列表，并描点画出图象：
x
－

X
0

π

2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin(2x＋)
0
2
0
－2
0
③法一：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象，再把y＝sin(x＋)的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象，最后把y＝sin(2x＋)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋)的图象．
法二：将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2(x＋)＝sin(2x＋)的图象；再将y＝sin(2x＋)的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin(2x＋)的图象．
(2) [自主解答]　由图象可知A＝2，T＝8.∵T＝8，∴ω＝＝＝.
法一：由图象过点(1,2)得2sin(×1＋φ)＝2，∴sin(＋φ)＝1.
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin(x＋)．
法二：∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴×1＋φ＝，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin(x＋)．
例题2：[自主解答]　(1)∵cosx∈[－1,1]，∴当a＝0时，y＝b，无最值；
当a>0时，函数的最大值为a＋b，最小值为－a＋b.
当x＝2kπ，k∈Z时取得最大值．
当x＝2kπ＋π，k∈Z时取得最小值．
当a<0时，函数最大值为－a＋b，最小值为a＋b.
当x＝2kπ＋π，k∈Z时取得最大值，
当x＝2kπ，k∈Z时取得最小值．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.∴－1≤cos(2x＋)≤.∴－1≤2cos(2x＋)＋1≤2.
∴当x＝0时，函数y＝2cos(2x＋)＋1的最大值为2；
当x＝时，函数y＝2cos(2x＋)＋1的最小值为－1.
(3) y＝3cos2x－4sinx＋1＝3－3sin2x－4sinx＋1＝－3(sin2x＋sinx)＋4＝－3(sinx＋)2＋.
又∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－时，函数y＝3cos2x－4sinx＋1的最大值为；
当sinx＝1时，函数y＝3cos2x－4sinx＋1的最小值为－3.

例题3：解：f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋2×－＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
(1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间是[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(2)易得f(x＋θ)＝2sin(2x＋2θ－)，因函数y＝f(x＋θ)(0<θ<)为偶函数，
故可知y＝f(x＋θ)(0<θ<)在x＝0处取得最值，得sin(2θ－)＝±1，
∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z，又0<θ<，解得θ＝.
例题4：解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故点B的坐标为(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))，
∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)．
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的角度数为t，
∴h＝5.6＋4.8sin(t－)，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin(t－)＝1得t－＝，∴t＝30.
答：缆车第一次到达最高点时，用的时间为30秒．
【巩固练习】
1．解析：法一：函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移后得到函数y＝sin[ω(x－)＋]＋2＝sin(ωx－ω＋)＋2的图象，因为两图象重合，
所以sin(ωx＋)＋2＝sin(ωx－ω＋)＋2，∴ωx＋＝ωx－ω＋＋2kπ，k∈Z.
∴ω＝k，k∈Z.当k＝1时，ω的最小值是.
法二：本题的实质是已知函数y＝sin(ωx＋)＋2(ω>0)的最小正周期是，求ω的值．
由T＝＝，∴ω＝.答案：
2．解析：由题意可知，A＝2，ω＝＝，所以f(x)＝2sinx，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)+ f(3) + f(4)＝2＋2.
答案：2＋2
3．解析：因为y＝sinx是奇函数，而y＝cosx是偶函数，所以a＝0.
答案：0
4．解析：由已知条件知y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋)＝cos[－(2x＋)]＝cos(2x－)，∴把y＝cos2x的图象向右平移个单位可得到y＝f(x)的图象．
答案：右，
5．解析：与直线y＝b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8知函数的周期为T＝＝8－2，得ω＝，再由三角函数的图象与直线y＝b(0<b<A)知：2与4的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×3＋φ＝得φ＝－，则f(x)的单调递增区间是2kπ－≤x－≤2kπ＋得x∈[6k,6k＋3](k∈Z)．
答案：[6k,6k＋3](k∈Z)
6．解：(1)f(x)＝2sin2x－2sinxcosx＋1＝1－cos2x－sin2x＋1＝－2sin(2x＋)＋2
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得y＝f(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
7．解析：当|MN|最小时，点M，N必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M(，)，N(，－)，根据两点间距离公式得|MN|＝＝π.
答案：π
8．解析：对于①，f(x)＝sin(2x－)
＝cos[－(2x－)]＝cos(2x－π)，故①错；
对于②，当x＝－时，f(－)＝sin[2×(－)－]
＝sin(－)＝－1，故②正确；
对于③，g(x)＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象解析式为y＝sin2(x－)＝sin(2x－)，故③错；
对于④，∵f(x)的周期为π，故当α＝时，
f(x＋α)＝f(x＋3α)，所以④正确．
答案：②④
9．解析：①y＝cos(x＋)⇒y＝－sinx是奇函数；
②由sinα＋cosα＝sin(α＋)的最大值为，所以存在实数α，使得sinα＋cosα＝；
③错误；
④把x＝代入y＝sin(2x＋)＝sin＝1，
所以点(，0)不是函数y＝sin(2x＋)的对称中心．
答案：①②
10．1
11．解：(1)f(x)＝a·b＝cos2＋sincos＝cosx＋sinx＋＝sin(x＋)＋，
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，则2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[2 kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.
函数f(x)在区间[－，π]上的简图如下：

(2)证明：法一：由(1)知，f(x)＝sin(x＋)＋，∴f′(x)＝cos(x＋)，
∵x∈[－，]，∴x＋∈[－，]，∴f′(x)＝cos(x＋)≤<.
∴函数f(x)的图象在区间[－，]上不存在与直线y＝x平行的切线．
法二：f′(x)＝－sinx＋cosx＝－sin(x－)，
∵x∈[－，]，∴x－∈[－，]，∴f′(x)＝－sin(x－)≤<，
∴函数f(x)的图象在区间[－，]上不存在与直线y＝x平行的切线．
12．（I） 21世纪教育网 （Ⅱ）最小正实数

13. [自主解答]　(1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1，
∴振幅为，∴y＝cost＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cost＋1>1，∴cost>0，
∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z
即12k－3<t<12k＋3，k∈Z ①
∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定的8∶00至20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即9∶00至15∶00.
14．（1）；（2）；（3）；
【拓展提高】
★1．（1）；
★2．（1），单调递增区间，单调递减区间：

15