指数函数（三）.doc

第20课时 指数函数（三）
教学目标：
使学生了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：
函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的复合函数.
2.指数形式复合函数的单调性.
3.指数形式复合函数的奇偶性.
(二)能力训练要求
1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.
3.培养学生的数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识从特殊到一般的研究方法.
2.用联系的观点看问题.
3.了解数学在生产实际中的应用.
●教学重点
1.函数单调性的证明通法.
2.函数奇偶性的证明通法.
●教学难点
指数函数的性质应用.
●教学方法
启发式
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步的判断.
在运用证明函数奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时，应提醒学生考查函数的定义域是否关于原点对称，以培养学生的定义域意识，并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式，以帮助学生形成系统的知识结构.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶性的基本步骤(记作
§2.6.3 A）
第二张：例5证明过程(记作§2.6.3 B）
第三张：例6证明过程(记作§2.6.3 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先，大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤.
［生］判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设→作差→变形→判断.
［生］判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
(1)考查函数定义域是否关于原点对称；
(2)比较f（－x）与f（x）或者－f（x）的关系；
(3)根据函数奇偶性定义得出结论.
(给出幻灯片§2.6.3 A，老师结合幻灯片内容加以强调说明)
［师］在函数单调性的证明过程中，“变形”是一关键步骤，变形的目的是为了易于判断，判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
另外，在函数奇偶性的判断及证明过程中，定义域的考查容易被大家忽略，而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，大家应予以重视.
下面，我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性，奇偶性的方法.
Ⅱ.讲授新课
[例5]当a＞1时，证明函数f(x)=是奇函数.
分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时，应注意首先考查函数的定义域.
证明：由ax－1≠0 得x≠0
故函数定义域{x｜x≠0}关于原点对称.
又f(－x)=
=
－f(x)=－
∴f(－x)=－f(x)
所以函数f(x)=是奇函数.
［师］对于f（－x）与f（x）关系的判断，也可采用如下证法：
＝－1
即f（－x）＝－f（x）
评述：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，常利用如下的变形等价形式：
f（－x）＝f（x）＝1（f（x）≠0），
f（－x）＝－f（x）
＝－1（f（x）≠0）.
这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质，要求学生在解决相关类型题时，予以尝试和体会.
［例6］设a是实数，f(x)=a－ (x∈R)
(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；
(2)试确定a值，使f(x)为奇函数.
分析：此题的形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明.还应要求学生注意不同题型的解答方法.
(1)证明：设x1,x2∈R,且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)=(a－
=
=
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2,所以即＜0
又由2x＞0得+1＞0，+1＞0
所以f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.
评述：上述证明过程中，对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性.
(2)解：若f(x)为奇函数，则f(－x)=－f(x)
即a－
变形得:
2a=
=
解得a=1
所以当a=1时，f(x)为奇函数.
评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值.应要求学生适应这种探索性题型.
Ⅲ.课堂练习
已知函数f(x)为偶函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=－2x+1,求当x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
解：设x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞），由x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－2x＋1得f（－x）＝－2-x＋1
又由函数f（x）为偶函数得
f（－x）＝f（x）
∴f（x）＝－2-x＋1.
即当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－2-x＋1.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性.奇偶性证明的通法.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本P75习题2.6
4.求证：
(1)f（x）＝（a＞0，a≠1)是奇函数；
(2)f（x）＝（a＞0，a≠1）是偶函数.
证明：(1)∵f（－x）＝＝－f（x）
即f（－x）＝－f（x），故f（x）是奇函数.
(2)f（－x）＝
＝－
＝＝f（x）
即f（－x）＝f（x），故f（x）＝是偶函数.
2.已知函数f(x)=，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证函数f(x)在(－∞,+∞)上是增函数.
(1)解：首先考查函数定义域R，故定义域关于原点对称.
又∵f（－x）＝
＝＝－f（x）
即f（－x）＝－f（x）
∴f（x）是奇函数.
(2)证明：设x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝
＝
＝
＝
∵x1＜x2 ∴
∴＜0.
又∵2＞＋1＞0，＋1＞0
∴＜0
∴f（x1）－f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（－∞，＋∞)上是增函数.
（二）1.预习内容：课本P76
2.预习提纲：
(1)对数与指数有何联系?
(2)对数式与指数式如何互化?
●板书设计
§2.6.3 指数函数的性质应用(二)
1.单调性证明通法：比较自变量大小与相应函数值大小是具有一致性，还是相反性.
2.奇偶性证明通法
①考查定义域
②比较f（－x），f（x），－f（x）三者的关系
3.[例5]
4.［例6］
5.学生练习

Ⅰ.复习引入
指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的定义、图象、性质：定义域、值域、单调性、奇偶性
Ⅱ.讲授新课
［例1］用计算器或计算机作出的图象，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系
⑴y＝2x+1与y＝2x+2. ⑵y＝2x－1与y＝2x－ 2.
活动设计：学生用计算器或计算机作出的图象，观察分析讨论，教师引导、整理
解：⑴作出图象，显示出函数数据表

比较函数y＝2x+1、y＝2x+2与y＝2x的关系：
从上表可以看出，y＝2－3+1与y＝2－2相等，y＝2－2+1与y＝2－1相等，y＝22+1与y＝23相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x+1的图象，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x+2的图象。
⑵作出图象，显示出函数数据表
比较函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的关系：
从上表可以看出，y＝2－1－2与y＝2－3相等，y＝20－2与y＝2－2相等，y＝23－2与y＝21相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象。

小结：⑴ y＝2x－m与y＝2x的关系
当m>0时，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x－m的图象，当m<0时，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x+m的图象
［例2］⑴已知函数 y＝（）︱x︱用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨y＝（）x与y＝（）︱x︱图像的关系。

解： 定义域：x∈R 值域：0＜y≤1
关系：将y＝（）x的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到y＝（）︱x︱的图像，y＝（）︱x︱是偶函数，关于y轴对称
⑵已知函数 y＝（）︱x－1︱用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨y＝（）x－1与y＝（）︱x－1︱图像的关系。
解： 定义域：xÎR 值域：0＜y≤1

关系：将y＝（）x－1的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧的到
y＝（）︱x－1︱的图像，y＝（）︱x－1︱不是偶函数，但是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数
y=f(x)
y=f(x+a)
a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a
a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x)
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|)
y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称，x¦0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x¦0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)|
∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)¦0与y=f(x)<0图象的组合.
y=f-1(x)
y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
［例3］探讨函数y＝ax和y＝a－x （a＞0且a≠1）的图象的关系，并证明
活动设计：学生用计算器作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理

证：设P1(x1, y 1)是函数y＝ax （a＞0且a≠1）的图象上任意一点
则y1＝a 而P1(x1, y 1)关于y轴的对称点Q是(-x1, y 1)
∴ y1＝a＝a－（－） 即Q在函数y＝a－x的图象上
由于P1是任意取的
所以y＝ax上任一点关于y轴的对称点都在y＝a－x的图象上
同理可证：y＝a－x 图象上任意一点也一定在函数y＝ax的图象上
∴ 函数y＝ax和y＝a－x的图象关于y轴对称。
［例4］已知函数 y＝ 求：
⑴函数的定义域、值域 ⑵判断函数的奇偶性
活动设计：学生用计算器作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理

解：⑴ 定义域为 R
由y＝ 得 22x－2y－2x＋1＝0
∵x∈R, ∴△≥0, 即 4y2－4≥0， ∴y2≥1, 又∵y＞0，∴y≥1
⑵ ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）
又∵ f（－x）＝＝f（x）, ∴f（x） 是偶函数。
Ⅲ. 课时小结
函数图像的变换
Ⅳ. 课后作业
课本P55习题 7~10

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