第四章三角函数.doc

第四章　三角函数、解三角形
4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数
导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

一、知识点：
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按____时针方向旋转所形成的角叫做正角，按____时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个____角．
(1)象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是________________角．
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为__________________；
终边在y轴上的角表示为________________________；
终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或_____________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．
(5)度与弧度的换算关系
360°＝______ rad；180°＝______ rad；1°＝________ rad；
1 rad＝____________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝__________，即弧长等于____________________．
S扇＝________＝________.
2．三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，|OP|＝r，我们规定：
①比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝；
②比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
③比值________(x≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝.
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示____________，__________和__________．

二、 基础训练：
1．“α＝”是“cos 2α＝”的________条件．

2． 与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．

3． 已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．

4． 若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ(m，n∈Z)，则α，β终边关于直线________对称．

5． 已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．

三、 典型例题：
题型一　求与已知角终边相同的角
例1　已知角α＝45°，
(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；
(2)设集合M＝，N＝，那么两集合的关系是什么？

变式： (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α，的终边落在何处？

(2) 写出终边在直线y＝x上的角的集合；

(3)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角．

题型二　三角函数的定义
例2　已知角α的终边经过点P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x，求sin α＋的值．

变式1：已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

变式2：已知角α的终边经过点P(－4a,3a) (a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．

题型三　三角函数值的符号及判定
例3　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．

变式： 已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第几象限？

题型四、扇形的弧长、面积公式的应用
例4　已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

变式：(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯，象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．

任意角、弧度制及任意角的三角函数的作业

1． 点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为________．

2.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．

3.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．

4．已知α为第三象限的角，则在第________象限．

5．(2011·南京模拟)已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．

6．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于________．

7．(2011·淮安模拟)已知角α的终边落在直线y＝－3x上，则－＝________.

8．阅读下列命题：
①若点P(a,2a) (a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝；
②同时满足sin α＝，cos α＝的角有且只有一个；
③设tan α＝且π<α<，则sin α＝－；
④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)

9．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．

10．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.

11．已知角α终边经过点P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x.求sin α＋的值．